Problemas de optimización en cálculo: ejemplos y explicación

Problemas de optimización

Hay muchos problemas matemáticos en los que, según un conjunto dado de restricciones, debe minimizar algo, como el costo de producir un contenedor, o maximizar algo, como un área que estará cercada. Estos se denominan problemas de optimización , ya que encontrar un valor óptimo para un parámetro dado. Este tipo de problemas se pueden resolver mediante cálculo. Básicamente, estos problemas implican encontrar el valor absoluto máximo o mínimo de una función en un intervalo dado. Sin embargo, primero debemos repasar los pasos que debe seguir para resolver un problema de optimización.

Pasos para resolver el problema

Paso 1: planifique el problema

Esto implica determinar exactamente qué información se conoce y qué valores específicos se deben calcular. Este paso también implica dibujar un diagrama para ayudar a comprender exactamente lo que encontrará. Aunque no es necesario dibujar un diagrama en todos los casos, generalmente se recomienda ya que ayuda a visualizar el problema.

Paso 2: Cree una ecuación de optimización y la (s) ecuación (es) de restricción

A continuación, configurará dos tipos de ecuaciones. La ecuación de optimización será la ecuación que se ocupa del parámetro específico que se maximiza o minimiza. Esta puede ser el área de un patio, el volumen de un contenedor o el costo total de un artículo. Las ecuaciones de restricción se basarán en la información proporcionada en el problema que restringe, o limita, los valores de las variables. Por ejemplo, es posible que solo tenga mil pies de cerca para cercar en un patio, o un contenedor debe tener un volumen de exactamente dos litros. Por lo general, tanto la ecuación (es) de optimización como la de restricción se basarán en fórmulas comunes para área, volumen, área de superficie, etc.

Paso 3: Resuelva la (s) ecuación (es) de restricción para una variable y sustitúyala en la ecuación de optimización

Aquí, debe tomar la (s) ecuación (es) de restricción y resolver una de las variables. Esto luego se sustituirá en la ecuación de optimización, de manera similar a cómo se resuelve un sistema de ecuaciones utilizando el método de sustitución. Esto permite que la ecuación de optimización se escriba en términos de una sola variable.

Paso 4: Encuentre los puntos críticos de la ecuación de optimización

Ahora que la ecuación de optimización está escrita en términos de una variable, puede encontrar la ecuación derivada. Tenga en cuenta que la mayoría de las veces, probablemente usará la regla de diferenciación de la potencia para encontrar la derivada, pero ocasionalmente puede necesitar usar otras reglas de derivada. Para encontrar todos los puntos críticos posibles, establecemos la derivada igual a cero y encontramos todos los valores de la variable que satisfacen esta ecuación.

Paso 5: Determine los valores máximos / mínimos absolutos

Una vez que tenga los puntos críticos, ingresará los valores en la ecuación de optimización para ver qué valor da para el parámetro que estamos tratando de optimizar (por ejemplo, área, volumen, costo, etc.). El mismo proceso se repite con ambos puntos finales del intervalo en el que existe la ecuación de optimización, de forma similar a cómo se determinaría el máximo y / o mínimo absoluto para una función regular. Puede comparar los valores de los puntos finales con los valores de los puntos críticos para determinar cuál da el máximo o mínimo absoluto.

Cabe señalar que este proceso solo funciona para una función de optimización que existe en un intervalo cerrado , que es donde hay puntos de inicio y fin numéricos para la variable de la función. Si la función continúa hasta el infinito y / o el infinito negativo en una o ambas direcciones, entonces la función existe en un intervalo abierto .

En estos casos, usar la prueba de la primera derivada para los extremos absolutos puede ayudar a confirmar si el punto crítico es un máximo o mínimo absoluto. Esta regla dice que si la derivada de una función es positiva para todos los valores menores que el punto crítico y negativa para todos los valores mayores que el punto crítico, entonces el punto crítico es el máximo absoluto.

De manera similar, si la derivada de una función es negativa para todos los valores menores que el punto crítico y positiva para todos los valores mayores que el punto crítico, entonces el punto crítico es el mínimo absoluto. Una vez que haya determinado el valor absoluto máximo o mínimo, finalmente estará listo para responder al problema.

Paso 6: encuentre la respuesta al problema

Para algunos problemas, esto puede significar volver a las ecuaciones de restricción para encontrar el valor correspondiente de las otras variables. En otras palabras, si ha encontrado la longitud que maximiza un área, usaría esa longitud en las ecuaciones de restricción para determinar el ancho correspondiente. Algunos problemas pueden requerir cálculos adicionales, dependiendo de cómo se construya el problema.

Por ejemplo, suponga que un problema pide la longitud, el ancho y la altura que maximizan el volumen de una caja. Si encuentra la longitud que corresponde al volumen máximo, necesitará calcular tanto el ancho como el alto para responder completamente al problema. Al igual que con cualquier problema verbal, es importante confirmar específicamente qué es lo que pide el problema antes de responderlo.

Ejemplo

El patio trasero de una propiedad debe estar vallado en un diseño rectangular. Solo se necesita cercado en tres lados ya que la parte trasera de la casa formará el cuarto lado. Hay 800 pies totales de cerca para usar. Necesitamos encontrar las dimensiones que maximizarán el área a vallar y el área máxima que se puede vallar.

Paso 1 : Tenemos 800 pies en total de cerca, por lo que el perímetro de la cerca será igual a 800. El área es desconocida y es el parámetro que se nos pide que maximicemos. Necesitaremos encontrar la longitud y el ancho del patrón de cercado, así como el área máxima general. Tenemos un diagrama que se muestra en pantalla.

Paso 2 : Dado que el área se maximiza, el área de un rectángulo formará la ecuación de optimización. Dado que elegimos que x represente el ancho e y para representar la longitud, la ecuación de optimización será:

A = xy (ecuación de optimización)

La cantidad total de cercado está restringida por el hecho de que solo tenemos 800 pies en total, por lo que constituirá la ecuación de restricción. La fórmula normal para el perímetro es P = 2 x + 2 y , pero solo tenemos tres lados que necesitan cercas ya que el cuarto lado, que tiene una longitud de y , está cubierto por la casa. Así, en nuestro ejemplo, será:

P = 2 x + y

Además, como sabemos que el perímetro de la cerca es de 800 pies, podemos conectarlo para obtener:

800 = 2 x + y (ecuación de restricción)

Paso 3 : Aquí, resolvemos la ecuación de restricción para una variable y la sustituimos en la ecuación de optimización. En este caso, es más fácil resolver para y porque tiene un coeficiente de 1. Hacer esto da:

y = 800 – 2 x

Sustituyendo y en la ecuación de optimización:

A = xy = x (800 – 2 x ) = 800 x – 2 x ^ 2

Paso 4 : este paso implica encontrar el punto crítico. Ahora que tenemos la ecuación de optimización definida como función de una variable, podemos tomar la derivada usando la regla de diferenciación de la potencia:

Una derivada = (1) 800 x ^ 0 – 2 (2) x ^ 1 = 800 – 4 x

Estableciendo una derivada igual a 0 y resolviendo para x :

0 = 800 – 4 x

4 x = 800

x = 200

Por tanto, el punto crítico es x = 200 pies.

Paso 5 : Ahora tenemos que verificar el punto crítico ( x = 200) con los puntos finales de la función para determinar si es un máximo absoluto. De nuestra ecuación de restricción sabemos que el ancho ( x ) puede variar de 0 a 400. Por lo tanto, necesitaremos evaluar la ecuación de optimización en 0, 200 y 400:

A (0) = 800 (0) – 2 (0) ^ 2 = 0-0 = 0 pies ^ 2

A (200) = 800 (200) – 2 (200) ^ 2 = 160.000 – 80.000 = 80.000 pies ^ 2

A (400) = 800 (400) – 2 (400) ^ 2 = 320,000 – 320,000 = 0 pies ^ 2

Por tanto, x = 200 representa un máximo absoluto para el área.

Paso 6 : Hemos encontrado el ancho ( x = 200 pies) y el área máxima ( A = 80,000 pies ^ 2), pero aún necesitamos encontrar la longitud y . Para hacer esto, simplemente ingrese el valor de x en la ecuación que resolvimos para y en el Paso 3:

y = 800 – 2x = 800 – 2 (200) = 800 – 400 = 400 pies

Por lo tanto, un ancho de 200 pies y una longitud de 400 pies darán un área máxima que se puede vallar de 80,000 pies ^ 2.

Resumen de la lección

Revisemos. Los problemas de optimización encuentran un valor óptimo para un parámetro dado. Básicamente, estos problemas implican encontrar el valor absoluto máximo o mínimo de una función en un intervalo dado y se pueden resolver mediante seis pasos:

Paso 1: planifique el problema

Paso 2: Cree la ecuación de optimización y la (s) ecuación (es) de restricción

Paso 3: Resuelva la (s) ecuación (es) de restricción para una variable y sustitúyala en la ecuación de optimización

Paso 4: Encuentre los puntos críticos de la ecuación de optimización

Paso 5: Determine los valores máximos / mínimos absolutos

Paso 6: encuentre la respuesta al problema

Problemas de optimización en la descripción general del cálculo

Los resultados del aprendizaje

Estudie y memorice la lección sobre problemas de optimización para que posteriormente pueda:

• Reconocer una ecuación de optimización
• Identificar ecuaciones de restricción
• Discutir y seguir los seis pasos necesarios para resolver un problema de optimización.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador