Resolver la derivada de ln (x)

Pasos para resolver

Queremos encontrar la derivada de ln ( x ). La derivada de ln ( x ) es 1 / x , y en realidad es una derivada bien conocida que la mayoría recuerda. Sin embargo, siempre es útil saber de dónde proviene esta fórmula, así que echemos un vistazo a los pasos para encontrar esta derivada.

Para encontrar la derivada de ln ( x ), lo primero que hacemos es dejar y = ln ( x ). Luego, usamos la definición de un logaritmo para escribir y = ln ( x ) en forma logarítmica. La definición de logaritmos establece que y = log b ( x ) es equivalente a b y = x . Por lo tanto, por la definición de logaritmos y el hecho de que ln ( x ) es un logaritmo con base e , tenemos que y = ln ( x ) es equivalente a e y = x .

Bien, solo unos pocos pasos más, ¡y tendremos nuestra fórmula! Lo siguiente que queremos hacer es tratar y como una función de x , y tomar la derivada de cada lado de la ecuación con respecto a x . Usamos la regla de la cadena en el lado izquierdo de la ecuación para encontrar la derivada. La regla de la cadena es una regla que usamos para tomar la derivada de una composición de funciones y tiene dos formas.

El lado izquierdo de la ecuación es e y , donde y es una función de x , entonces si dejamos f ( x ) = e x y g ( x ) = y , entonces f ( g ( x )) = e y . Dado que la derivada de e a una variable (como e x ) es la misma que la original, la derivada de f ‘(g (x)) es e y . Por lo tanto, según la regla de la cadena, la derivada de e y es e y dy / dx . En el lado derecho tenemos la derivada de x , que es 1.

Tenemos ( e y ) dy / dx = 1. Ahora, recuerde que e y = x . Usaremos este hecho para reemplazar x en nuestra ecuación para e y .

Esto nos da la ecuación ( x ) dy / dx = 1. ¡Ahora nos estamos acercando mucho! ¿Estás tan emocionado como yo? Podemos dividir ambos lados de esta ecuación por x para obtener dy / dx = 1 / x . Lo último es recordar que y = ln ( x ) y conectar esto a nuestra ecuación para y .

¡Ta-da! Ahora, vemos que d / dx ln ( x ) = 1 / x , y ahora sabemos por qué esta fórmula para la derivada de ln ( x ) es verdadera. Entonces, ¿cuál es nuestra solución? La derivada de ln ( x ) es 1 / x .

Aplicación de la derivada de ln ( x )

Como dijimos, la derivada de ln ( x ) es una derivada bien conocida que la mayoría recuerda. Esto se debe a que este derivado aparece a menudo en aplicaciones del mundo real. Por lo tanto, es muy útil conocer la derivada para no tener que pasar por el proceso de encontrarla cada vez que aparece.

Por ejemplo, considere cierto avión que despega al nivel del mar. La altitud del avión (en pies) en x minutos puede estar dada por la función h ( x ) = 2000ln ( x ).

La derivada de una función representa una tasa de cambio. Por lo tanto, la derivada de h representa la velocidad de ascenso del avión en x minutos. Encontremos esa derivada para que tengamos una fórmula para la velocidad de ascenso del avión.

Como h ‘( x ) = 2000ln ( x ), vemos que h ‘ ( x ) = 2000 / x . Esta función representa la velocidad de ascenso del avión en pies por minuto a los x minutos. Por ejemplo, si queremos saber la tasa de ascenso dos minutos después de que el avión despegue, conectamos 2 en la derivada para obtener lo siguiente.

Obtenemos que h ‘(2) = 1000. Esto nos dice que el avión asciende a una velocidad de 1000 pies por minuto dos minutos después de que el avión despegó.

Bastante impresionante, ¿no? Sabemos cómo encontrar la derivada de ln ( x ), y también vemos por qué es útil memorizar la derivada: porque facilita mucho la resolución de problemas en los que surge. Por lo tanto, si toma algo de esta lección, ¡sea que la derivada de ln ( x ) es 1 / x !

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a recapitular brevemente lo que hemos aprendido sobre cómo resolver la derivada de ln ( x ). Los pasos son los siguientes:

1. Sea y = ln ( x ).
2. Usa la definición de un logaritmo para escribir y = ln ( x ) en forma logarítmica. Esta definición establece que y = log b ( x ) es equivalente a b y = x , por lo tanto, y = ln ( x ) es equivalente a e y = x .
3. Trate y como una función de x , y obtenga la derivada de cada lado de la ecuación con respecto a x .
4. Usa la regla de la cadena en el lado izquierdo de la ecuación para encontrar la derivada. Recuerde que la regla de la cadena es una regla que usamos para tomar la derivada de una composición de funciones y tiene dos formas. Esto nos llevará a la conclusión de que e y es e y dy / dx . La derivada de x es 1.
5. Reemplaza x en nuestra ecuación para ‘e y %.
6. Obtenemos ( x ) dy / dx = 1 y dividimos ambos lados de esta ecuación por x para obtener dy / dx = 1 / x .
7. Reemplace y = ln ( x ) por y .
8. Vea que d / dx ln ( x ) = 1 / x y, por lo tanto, que la derivada de ln ( x ) es 1 / x .

Ahí, simple, ¿verdad?

Rodrigo Ricardo Editor y fundador