Secuencia finita: definición y ejemplos

Publicado el 23 noviembre, 2020

¿Qué es una secuencia finita?

Si algo es finito , entonces tiene un límite o está acotado. Suponga que desea enumerar los colores del arco iris. En general, se reconoce que hay siete colores del arco iris. Puede mostrar los colores en notación de conjuntos de la siguiente manera:

rojo naranja amarillo verde azul índigo violeta


Los colores del arco iris
imagen de arco iris

La lista de colores se detiene en siete, por lo que los colores del arco iris son un conjunto finito.

En matemáticas, una secuencia suele ser una progresión de números con un punto de partida claro. Algunas secuencias también se detienen en un número determinado. En otras palabras, tienen un primer término y un último término, y todos los términos siguen un orden específico. Este tipo de secuencia se denomina secuencia finita . Volvamos al ejemplo del arcoíris. Tenga en cuenta que los colores se enumeran como aparecen en el arco iris, de arriba hacia abajo.

Ahora, veamos un ejemplo matemático. Los primeros cinco números impares positivos son un ejemplo de una secuencia finita; se detiene en el número 9:

1, 3, 5, 7, 9

Los elementos de una secuencia no son una lista arbitraria de números. En otras palabras, no se enumeran al azar, sino que siguen un orden específico. A menudo, las secuencias finitas siguen un patrón matemático específico que puede representarse mediante una regla general que puede mostrarse en términos algebraicos o en palabras.

Nomenclatura

En una secuencia finita, hay un primer término, un segundo término y así sucesivamente hasta el último término. La letra n a menudo representa el número total de términos en una secuencia finita. El primer término de una secuencia finita se puede representar por a (1), el segundo término por a (2), y así sucesivamente. El número entre paréntesis junto a la a generalmente se escribe como un subíndice, pero en ocasiones se utilizarán paréntesis en esta lección.

Esta figura ilustra esta nomenclatura.


Secuencia finita
secuencia finita

Ejemplos

Hay muchos tipos diferentes de secuencias finitas, pero nos mantendremos dentro del ámbito de las matemáticas. Un ejemplo de una secuencia finita son los números primos menores que 40 como se muestra a continuación:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37

Otro ejemplo son los números naturales menores que e iguales a 100. Sería engorroso escribir todos los términos en esta secuencia finita, por lo que podemos mostrarlo de la siguiente manera:

1, 2, 3, 4, 5,…, 100

La marca de elipsis nos dice que el patrón exhibido en los primeros cinco términos mostrados continuará hasta el último término de 100. Puede haber otras secuencias que comiencen de la misma manera y terminen en 100 pero que no sean los números naturales menores o iguales. a 100. En ese caso, sería prudente escribir la secuencia lo suficiente para que el lector comprenda el patrón.

Encontrar patrones

Veamos algunas secuencias finitas e identifiquemos patrones.

Ejemplo 1

Una secuencia en la que todos los pares de términos sucesivos tienen una diferencia común se llama secuencia aritmética finita . Encuentre la diferencia común en la siguiente secuencia aritmética finita:

2, 7, 12, 17,…, 47

Los primeros cuatro términos de la secuencia muestran que la diferencia común es 5. En otras palabras, podemos sumar 5 a cualquier término de la secuencia para obtener el siguiente término de la secuencia.

Ejemplo 2

Una secuencia en la que todos los pares de términos sucesivos forman una razón común se llama secuencia geométrica finita . Encuentra la razón común en la siguiente secuencia geométrica finita:

7, 21, 63, 189, 567

La secuencia tiene una razón común de 3 porque 21/7 = 63/21 = 189/63 = 567/189 = 3. En otras palabras, podemos multiplicar cualquier término en la secuencia por 3 para obtener el siguiente término en la secuencia.

Ejemplo 3

Describe la siguiente secuencia finita:

1/9, 2/8, 3/7, 4/6,…, 9/1

Está claro que esta secuencia finita no es aritmética ni geométrica. Pero ciertamente hay un patrón que sigue la secuencia. Observe que el numerador de cada término es el orden del término. Por ejemplo, a (1) tiene un numerador de 1, a (2) tiene un numerador de 2, y así sucesivamente. ¿Y el denominador? El denominador comienza en 9 para el primer término y disminuye en 1 de un término al siguiente. Podríamos decir que el denominador es 10 menos el orden del término. Establezcamos un índice para esta secuencia: a ( i ) representará el i- ésimo término de la secuencia. Por lo tanto, podemos escribir una regla general para esta secuencia de la siguiente manera:

a ( i ) = i / (10 – i )

Intentemos esto con algunos números en la secuencia.

a (1) = 1 / (10 – 1) = 1/9

a (2) = 2 / (10 – 2) = 2/8

a (3) = 3 / (10 – 3) = 3/7

No ejemplos

Un ejemplo de una secuencia que no es finita sería una que es infinita. En otras palabras, una secuencia que no tiene fin es una secuencia infinita. Los múltiplos del número 5 no serían una secuencia finita, porque la lista sería interminable. Siempre podemos sumar 5 al último múltiplo de 5 que se muestra en la secuencia para obtener un nuevo múltiplo de 5.

La lista de enteros negativos es otro ejemplo de una secuencia infinita y se muestra en los siguientes símbolos:

-1, -2, -3, -4, -5,…

El símbolo de elipsis nos dice que la secuencia continúa sin fin.

Resumen de la lección

Revisemos. Una secuencia finita es una lista de términos en un orden específico. La secuencia tiene un primer término y un último término. El orden de los términos de una secuencia finita sigue algún tipo de patrón matemático o arreglo lógico. Si se utiliza una elipsis para mostrar una secuencia finita, es importante que el patrón o disposición de la secuencia no sea ambiguo y esté claramente definido para el lector.

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