Rodrigo Ricardo

Serie telescópica: definición y ejemplos

Publicado el 24 noviembre, 2020

Una colección de números

La gente colecciona todo tipo de cosas. Imagínese tener una colección de números como 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42 y 1/56.

¿Y si sumamos estos números? Pero en lugar de sumarlos todos a la vez, haremos una suma parcial . Por ejemplo, la suma parcial de mantener solo el primer número es solo el primer número: 1/6. Y 1/6 ≅ 0,167. Podríamos encontrar la suma parcial de los dos primeros números para obtener 1/6 + 1/12 igual a 3/12 reduciendo a 1/4 que es 0,25.

También podríamos encontrar la suma parcial de los primeros tres números. 1/6 + 1/12 + 1/20 = 36/120 que se reduce a 3/10 que es 0.3.

Seguimos recopilando más números pertenecientes a esta colección.

Quizás se pregunte cómo sabemos qué números pertenecen a esta colección. Esta colección particular de números se calcula a partir de 1 / ( n 2 + 5 n + 6). Empezamos con n = 0.

  • para n = 0, 1 / ( n 2 + 5 n + 6) = 1 / (0 + 0 + 6) = 1/6
  • para n = 1, 1 / ( n 2 + 5 n + 6) = 1 / (1 + 5 + 6) = 1/12

¿Ves cómo funciona esto? Si tiene un valor para n , puede calcular un número en la colección. Pruébelo para n = 2. ¿Obtiene 1/20?

A medida que nuestra colección de números aumenta, continuamos jugando a este juego de calcular sumas parciales. ¡Ajá! Con el tiempo, notamos que las sumas parciales resultantes no aumentan mucho a pesar de que sumamos más y más números.

En esta lección, mostraremos cómo agregar los primeros 10 números de nuestra colección es 0.4167 (redondeado a 4 lugares decimales) como una suma parcial. Y si sumamos los primeros 100 números, obtenemos 0.4902.

Si graficamos la suma parcial en función del número de números que sumamos, tendremos una idea de lo que está sucediendo.


Cuando n va al infinito, la suma parcial va a .5
As_n_goes_to_infinity, _the_partial_sum_goes_to_.5

Las sumas parciales solo suman los primeros n números. Si de alguna manera pudiéramos sumar hasta el infinito, tendríamos una serie infinita .

Una serie infinita

La serie infinita para la colección de números en nuestro ejemplo es:

series infinitas

La sigma mayúscula, Σ, es el símbolo que significa “tomar la suma de”. La expresión debajo de la sigma es ” n = 0″. Es decir, comience a sumar 1 / ( n 2 + 5 n + 6) con n = 0, que es 1/6. Luego agregue 1 / ( n 2 + 5 n + 6) evaluado en n = 1, que es 1/12. Sigue aumentando n , evaluando el resultado y sumándolo a los términos anteriores hasta llegar a la expresión sobre la sigma. Por encima de Σ vemos ∞, lo que significa seguir sumando hasta llegar a n = ∞.

La notación sigma es una forma compacta de escribir la serie infinita: 1/6 + 1/12 + 1/20 +… hasta n = ∞. ¡Sin temores! No tendremos que seguir sumando hasta el infinito.

Podríamos detener la suma en algún valor n . Este es nuestro amigo, la suma parcial. La forma compacta de escribir sumas parciales usa una S mayúscula con un subíndice n .

parcial_suma_notación_Sn

¿Recuerda que la suma parcial de los primeros tres números es 1/6 + 1/12 + 1/20? La suma fue de n = 0 an = 2. Para usar la notación S mayúscula, escribiríamos S 2 .

¿Listo para conocer algunas ideas sobre nuestra serie infinita? Usamos una técnica llamada expansión de fracción parcial . Básicamente, nosotros:

  • Factorizar n 2 + 5 n + 6 en ( n + 2) ( n + 3)
  • Escribe 1 / ( n 2 + 5 n + 6) como A / ( n + 2) + B / ( n + 3)
  • Encuentra la A y la B (sin mostrar todos los detalles, A = 1 y B = -1)

Un último punto. Debido a que nuestra suma parcial es hasta n , podríamos confundir este n con la variable n en 1 / ( n 2 + 5 n + 6). No hay problema, usamos otra variable, k , en lugar de la n . Es decir, 1 / ( n 2 + 5 n + 6) se convierte en 1 / ( k 2 + 5 k + 6).

Así, escribimos:

1 / (k ^ 2 + 5k + 6) = 1 / (k + 2) -1 / (k + 3)

Bien, es hora de explorar. ¿Qué pasa si miramos la suma parcial S 1 ?

S1

Usando nuestros resultados de expansión de fracción parcial,

PFE_of_S1

Luego, expanda la suma usando k = 0 y k = 1.

nulo

El 1/3 y el -1/3 se cancelan, dejando el primer número, 1/2, y el último número, 1/4.

S1 = 1 / 2-1 / 4

¿Sucede esto con otras sumas parciales? Probemos S 2 .

S2

Nuevamente, expandiendo,

PFE_of_S2

Escribiendo la suma,

Writing_out_the_S2_sum

Una vez más, los términos internos se cancelan dejando el primer número menos el último número.

nulo

Por cierto, S 1 = 1/2 – 1/4 es igual a 1/4 como antes. Y, S 2 = 1/2 – 1/5 se reduce a 3/10 como antes.

Serie telescópica

Un tipo especial de serie infinita se llama serie telescópica . Al igual que un telescopio extendido que se comprime en un tamaño más pequeño, las sumas parciales se comprimen en un número al frente y una expresión al final. Todos los términos internos se cancelan.

Cuando exploramos S 1 , la fracción al final fue 1/3. Con S 2 , fue 1/5. El denominador es 3 más que la n . En general,

nulo

Anteriormente afirmamos que agregar los primeros 10 números de nuestra colección nos da 0.4167. Para verificar, S 9 = 1/2 -1 / (9 + 3) = 1/2 – 1/12 ≅ .4167. Además, la suma de los primeros 100 números es S 99 = 1/2 – 1 / (99 + 3) ≅ .4902. A medida que n sigue creciendo, nos acercamos cada vez más a 1/2 – 0 = 1/2.

Cuando dejamos que n vaya al infinito, la suma parcial se convierte en la suma infinita que llamamos serie infinita. A medida que n llega al infinito, el 1 / ( n + 3) se vuelve cada vez más pequeño hasta que desaparece como cero. Nos queda 1/2.

Para escribir esto formalmente,

nulo

Decimos que esta serie infinita converge al valor 1/2. Esto concuerda con nuestro diagrama de las sumas parciales.

No todas las series serán telescópicas y no todas las series telescópicas convergerán. Sin embargo, cuando una serie telescópica converge, podemos encontrar el valor numérico de la serie infinita. Para un coleccionista de números, ¡esto es genial!

Resumen de la lección

Una serie infinita es la suma de un número infinito de términos. Por ejemplo, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +… (hasta el infinito) es una serie infinita. Cuando nos detenemos antes del infinito en la suma, tenemos una suma parcial . Por ejemplo, 1 + 1/2 + 1/3 es una suma parcial de los primeros tres términos. Al escribir las sumas parciales de una serie telescópica en términos de una expansión de fracciones parciales , vemos cómo se cancelan los términos internos. Esta cancelación de los términos internos comprime efectivamente la suma parcial como comprimir un telescopio extendido. Si la serie converge, podemos encontrar el valor de la serie infinita.

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