La derivada
Aunque no hay paréntesis en la expresión, e 4 x , podemos pensar en esto como una función de una función. La función exponencial tiene una función de x en su argumento. Entre paréntesis escribiríamos e (4 x ) .
Otra perspectiva identifica una función externa y una función interna . La función externa es e ( x ) y la función interna es 4 x . La derivada de e ( x ) es e ( x ) . La derivada de 4 x es 4.
Encontramos la derivada de e 4 x usando dos pasos:
Paso 1: usa la regla de la cadena.
La regla de la cadena dice que cuando tenemos una función externa y una función interna, obtenemos la derivada multiplicando la derivada de la función externa por la derivada de la función interna.
Paso 2: simplifica.
Generalmente, simplificar significa reorganizar una expresión en una forma comúnmente aceptable.
Método de Etiqueta de Factor en Química: pasos, conversiones y ejemplos
Trabajemos en estos dos pasos:
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En la primera línea, vemos la derivada de la función externa, e 4 x , multiplicada por la derivada de la función interna. En la segunda línea, la función interna, 4 x , se diferencia a 4. En la tercera línea, la expresión se simplifica moviendo el 4 al frente para que actúe como un coeficiente para e 4 x .
El resultado final
Entonces, la derivada de e 4 x viene dada por:
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Ejemplos gráficos
Digamos que queremos comparar e 4 x con su derivada, 4 e 4 x . Una forma de hacer esto es trazar ambas funciones en el mismo gráfico.
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Conclusiones Científicas: definición, pasos y ejemplos
En x = 0, e 4 x = e 0 = 1. Por lo tanto, la función es igual a 1 en x = 0 y su derivada, 4 e 4 x = 4 e 0 = 4 (1) = 4 en x = 0. Vemos la función cruza el eje vertical en 1 para x = 0. Como era de esperar, vemos la derivada de esta función cruzando en 4.
Otra forma de verificar nuestro resultado hace uso de la pendiente y la derivada. Sabemos que la derivada evaluada en un punto de una curva es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto. Digamos que queremos verificar nuestro resultado de la derivada ubicando donde la pendiente es igual a 1. Podemos establecer 4 e 4 x igual a 1 y resolver para x :
- 4 e 4 x = 1
- e 4 x = 1/4; cuando dividimos ambos lados por 4
- 4 x = ln (1/4); cuando tomamos el logaritmo natural de ambos lados
- x = (1/4) ln (1/4); cuando dividimos por lados entre 4
- x = -.347… ≅ -.347; cuando usamos una calculadora para evaluar
Para x = -.347, e 4 x = e 4 (-. 347) = .249 ≅ .25.
Por lo tanto, en el punto (-.347, .25) de la curva, podemos dibujar una línea tangente. Como era de esperar, esta recta tangente tiene una pendiente igual a 1.
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Esto confirma nuestro resultado para la derivada de e 4 x .
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