Trigonometría y el teorema de Pitágoras

SohCahToa y el teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras se aplica a los triángulos rectángulos

Echemos un vistazo más a la trigonometría. Recuerde que hay dos cosas que debe tener en cuenta con respecto a la trigonometría. Debe recordar SohCahToa : sin ( theta ) es igual a lo opuesto sobre la hipotenusa, cos ( theta ) es igual al adyacente sobre la hipotenusa y tan ( theta ) es igual al opuesto sobre el adyacente. Así que aquí está nuestro triángulo rectángulo. Tenemos theta , la pierna adyacente, la pierna opuesta y la hipotenusa.

Lo segundo que debes recordar es el Teorema de Pitágoras . Eso dice que si tienes este abc triángulo rectángulo, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Con esas dos cosas, puede hacer muchos cálculos importantes en cálculo y geometría.

Inversa y reciprocidad

¿Cuáles son algunas de las cosas que podría necesitar saber? Bueno, 1 / sin ( theta ) se conoce como csc ( theta ). Es igual a la hipotenusa sobre el lado opuesto. Nunca escribiremos esto como sin ^ -1 ( theta ). ¿Porqué es eso? Bueno, sin ^ -1 ( theta ) es realmente la función inversa de sin ( theta ); no es 1 / pecado ( theta ). Entonces, lo que esto significa es que sin ^ -1 (sin ( theta )) te dará theta , al igual que f ^ -1 ( f (x) ) te devolverá x . Esa es la definición de la función inversa aquí. Esto también significa que si el pecado ( theta) es el opuesto sobre la hipotenusa, la cosecante sen ^ -1 del opuesto sobre la hipotenusa es igual a theta .

Algunas de las formas de representar este triángulo rectángulo

Usando trigonometría y geometría

Muy bien, entonces, ¿cuál es un ejemplo del uso del Teorema de Pitágoras, los senos y cosenos de una manera significativa? Digamos que tienes la función sin ( y ) = x . Esto podría provenir de tener la ecuación csc ( x ) = y . Eso es como decir sin ^ -1 ( x ) = y . Entonces sin ( y ) = x . Sin ( y ) también es igual al opuesto dividido por la hipotenusa. Así que dibujemos un triángulo rectángulo y hagamos nuestro ángulo y . Aquí tengo el lado opuesto y aquí tengo la hipotenusa. Sé que el opuesto dividido por la hipotenusa es igual ax, entonces, ¿por qué no llamo a la hipotenusa 1 ya este lado opuesto igual ax ? Lo opuesto a la hipotenusa es igual ax dividido por 1, por lo que este triángulo tiene sentido con nuestra ecuación sin ( y ) = x .

A partir del Teorema de Pitágoras podemos averiguar a qué equivale este otro lado. Sé que x ^ 2 más la longitud de este lado al cuadrado tiene que ser igual a 1. Eso significa que este lado es igual a la raíz cuadrada de 1 – x ^ 2, así que pongamos eso en nuestro triángulo. Ahora este triángulo representa sin ( y ) = x . Ahora que sabemos eso, podemos averiguar cuáles son el coseno y la tangente de y . El coseno de y es igual al lado adyacente dividido por la hipotenusa. El lado adyacente es la raíz cuadrada de 1 – x ^ 2, y la hipotenusa es solo 1, así que aquí está mi coseno de y . Del mismo modo, la tangente de yes igual al opuesto sobre el adyacente, que es solo x dividido por la raíz cuadrada de 1 – x ^ 2. Todos estos representan este triángulo rectángulo.

Triángulo para el ejemplo final

Puede hacer lo mismo si tiene cos ( y ) = x. Esto podría provenir de sec ( x ) = y , por lo que si cos ( y ) = x es como decir que x es igual al adyacente sobre la hipotenusa. Entonces hagamos la hipotenusa 1 nuevamente, y el lado adyacente igual ax . El lado opuesto, según el Teorema de Pitágoras, es igual a la raíz cuadrada de 1 – x ^ 2, y puedo encontrar el seno de y y la tangente de y basándome únicamente en esto.

Resumen de la lección

Esto será muy útil si puede recordarlo durante todo el cálculo. En realidad, son solo dos reglas: 1) SohCahToa y 2) el Teorema de Pitágoras. Recuerda estos y listo.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador