Uso de pendientes para dividir segmentos
Partición de un segmento de línea
En el circo, Mike el magnífico camina por la cuerda floja. Se necesitan 10 pasos del mismo tamaño para cruzar la cuerda. Da siete pasos sin problemas, luego se tambalea un poco y rápidamente da los últimos tres pasos para aterrizar de manera segura en la plataforma final.
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Da la casualidad de que Mike acaba de realizar una hazaña matemática llamada partición de un segmento de línea. El particionado de un segmento de línea dirigido , AB , en una relación de un / b implica dividir el segmento de línea en un + b partes iguales y encontrar un punto que está a partes iguales de A y B partes iguales de B .
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Piense en Mike de nuevo. El punto en el que se tambaleó en la cuerda floja (un segmento de línea de 10 partes iguales) está a siete partes iguales desde el principio y a tres partes iguales desde el final, por lo que el punto en el que Mike se tambaleó dividió el segmento de línea en la relación 7 / 3.
Usando Slope
La división de un segmento de línea dirigido parece bastante simple, pero ¿qué pasa si se nos dan los dos puntos finales de un segmento de línea dirigido y queremos encontrar el punto que divide el segmento de línea en la relación a / b ?
Afortunadamente, podemos hacer esto con bastante facilidad utilizando partes de la pendiente del segmento de línea. La pendiente del segmento de recta con puntos extremos ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) nos da la tasa a la que y está cambiando con respecto a x , y podemos encontrarla usando la fórmula de pendiente :
Pendiente = Subida / Carrera = (Cambio en y ) / (Cambio en x ) = ( y 2 – y 1 ) / ( x 2 – x 1 )
Si tenemos un segmento de línea AB , donde A = ( x 1 , y 1 ) y B = ( x 2 , y 2 ), y queremos dividirlo en la razón a / b , entonces queremos encontrar un punto. P que cae a partes iguales desde el punto a y B partes iguales desde el punto B en el segmento de línea. Podemos hacer esto siguiendo los siguientes pasos:
- Determine la razón, llámela c , comparando a con la longitud total del segmento de línea usando la fórmula c = a / ( a + b ). Esta relación da la fracción de la forma en que P es de A a B .
- Encuentra la elevación ( y 2 – y 1 ) y corre ( x 2 – x 1 ) de la pendiente del segmento de recta.
- Suma c ⋅ (correr) a x 1 , y suma c ⋅ (subida) a y 1 . Esto toma el punto A y lo mueve a / ( a + b ) del camino al punto B , que es exactamente el punto P que queremos.
Estos pasos también dan paso a una fórmula fácil y agradable para P :
P = ( x 1 + c ( x 2 – x 1 ), y 1 + c ( y 2 – y 1 ))
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Hmmm … eso parece tener sentido, pero ¿no crees que un ejemplo aclarará las cosas aún más?
Ejemplo
Supongamos que tenemos un segmento de línea dirigido AB , donde A = (1,2) y B = (8,7), y queremos dividirlo con la razón 3/5. En otras palabras, queremos encontrar un punto, P , que es tres partes iguales de A y es cinco partes iguales de B . Repasemos nuestros pasos y luego verificaremos nuestra respuesta con nuestra fórmula.
Lo primero que queremos hacer es encontrar la relación de c que nos dice qué fracción de la forma P es de A a B . Para hacer esto, usamos nuestra fórmula c = a / ( a + b ), donde a = 3 y b = 5.
- c = 3 / (3 + 5) = 3/8
Bueno, por lo que sabemos P será 3/8 de la distancia desde A a B . Ahora, queremos encontrar la subida y la carrera de la pendiente del segmento de recta. Nuevamente, podemos usar nuestras fórmulas con los puntos (1,2) y (8,7).
- Ejecutar = x 2 – x 1 = 8 – 1 = 7
- Subida = y 2 – y 1 = 7 – 2 = 5
¡Muy bien, un paso más! Necesitamos sumar c ⋅ (correr) ax 1 , y sumar c ⋅ (subir) a y 1 . Esto suma 3/8 del cambio en x de A a B a la coordenada x de A y 3/8 del cambio en y de A a B a la coordenada y de A , dando nuestro punto deseado P que es 3 / 8 del camino de A a B y divide la línea en la proporción 3/5.
- x 1 + c ⋅ (correr) = 1 + (3/8) (7) = 3.625
- y 1 + c ⋅ (aumento) = 2 + (3/8) (5) = 3.875
Esto da que el punto P es (3.625, 3.875). Veamos si nuestra fórmula da lo mismo:
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¡Lo hace! Echemos un vistazo al punto P en AB en una gráfica.
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Efectivamente, el punto P = (3.625, 3.875) divide AB en la relación 3/5.
Resumen de la lección
El particionado de un segmento de línea , AB , en una relación de un / b implica dividir el segmento de línea en un + b partes iguales y encontrar un punto que está a partes iguales de A y B partes iguales de B .
Al encontrar un punto, P , para dividir un segmento de línea, AB , en la razón a / b , primero encontramos una razón c = a / ( a + b ).
La pendiente de un segmento de línea con puntos finales ( x 1 , y 1 ) y ( x 2 , y 2 ) viene dada por la fórmula subida / corrida, donde:
- subida = y 2 – y 1
- correr = x 2 – x 1
Dado un segmento de línea AB y una razón de partición a / b , podemos encontrar el punto P que divide el segmento de línea de manera apropiada usando una fórmula que involucra partes de la pendiente del segmento de línea. Es decir:
- P = ( x 1 + c ( x 2 – x 1 ), y 1 + c ( y 2 – y 1 ))
¡Esta fórmula hace que dividir un segmento de línea sea muy fácil!
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