Cómo calcular volúmenes usando integrales simples

Hallar el volumen de un cono

El área de cada rebanada depende de dónde cortó el cono

Encontrar el volumen de una lata es bastante sencillo. Encuentra el área de la base y la multiplica por la altura. Encontrar el volumen de un cono o un cono cuadrado, quizás, no siempre sea tan obvio. Seguro, tenemos una fórmula para ello. Pero, ¿de dónde vino esto?

Vamos a aprender a encontrar el volumen usando una técnica de corte e integración. Imagina que tienes este cono que has inclinado de lado. A lo largo de la altura del cono está el eje x . Lanza el cono en el medio.

Si pudieras tomar una hoja de papel o un cuchillo muy afilado y cortar ese cono, verías una sección transversal, digamos, en la parte superior del cono, o para un valor más pequeño de x en algún lugar en el medio del cono o cerca de la parte inferior del cono. Estas secciones transversales cambiarían. Serían grandes en la parte superior, más pequeños en el medio e incluso más pequeños en la parte inferior.

Sin embargo, digamos que para este cono en particular, siempre estaba mirando un círculo en su sección transversal. El radio de ese círculo dependerá de dónde lo hayas cortado. En particular, para este cono exacto, el radio se establece en x . Entonces, el radio del cono es la altura del cono en ese corte. Y el ángulo entre su cono y el eje x o y será de 45 grados.

Encontrar el área de una rebanada

El volumen del cono se estima sumando los volúmenes de todas las rodajas.

Si quiero encontrar el área de un corte en particular, sé que el radio será r y r será igual ax . El área de esta rebanada, el área interior del cono para cualquier rebanada, es igual a pi veces r ^ 2 o pi veces x ^ 2. Entonces, el área de cada rebanada dependerá de dónde exactamente corté el cono.

Bien, entonces mi área va a cambiar. Cerca de la parte superior del cono, será mucho más grande. Cerca de la parte inferior del cono, el área que encuentro dentro de mi rebanada será mucho más pequeña. ¿Cómo puedo usar esto para encontrar el volumen?

¿Qué pasa si tomo el área de una de las rebanadas y multiplico el área por el grosor de esa rebanada? Entonces, ahora tengo un pequeño, diminuto volumen de una pequeña, diminuta porción. Es como cortar un trozo de salami. Tienes el rollo grande y gigantesco de salami y tomas un montón de rebanadas. Si quieres encontrar el volumen del salami entero, solo necesitas el volumen de cada una de esas rebanadas y lo sumas todo. Eso es todo lo que estamos haciendo aquí, excepto que nuestro salami va de 1 pulgada de diámetro a 5 pulgadas de diámetro.

Bien, entonces vamos a estimar el volumen de nuestro cono como la suma de todos los pequeños volúmenes, todos los volúmenes de rebanadas. Cada uno de esos volúmenes de corte será el área de la sección transversal multiplicada por el grosor del corte. Aquí, puedo escribir eso como A en función de x , porque sé que mi área cambia a medida que voy desde cerca de la parte inferior del cono hasta cerca de la parte superior del cono, multiplicado por delta x . Vamos a decir que delta x es el grosor de mi corte. Ese es el cambio en x entre la parte superior de mi rebanada y la parte inferior, o entre mis dos cortes de cuchillo.

Voy a resumir esto en todos estos volúmenes. Es decir, para cada segmento, desde el primer segmento hasta el n- ésimo segmento, si tomo n segmentos.

Voy a obtener una estimación mucho mejor de mi volumen si los cortes son realmente pequeños, si encuentro el volumen de cortes muy, muy pequeños. Esto se opone a una gran tajada. Si calculé el área de todo mi cono, digamos, en función del grosor que tiene en la parte superior, lo sobreestimaré. Si estimo el volumen en función de una rebanada en la parte inferior del cono, lo subestimaré mucho.

Determinar el volumen cortando en rodajas es realmente usar una suma de Riemann

La forma de evitar esto es tomar muchas rodajas pequeñas, diminutas y muy delgadas. Voy a tomar el límite, ya que el grosor de mi corte va a 0 en todos mis cortes, del volumen de cada corte, es decir A en función de x , la función del área de la sección transversal de x , multiplicado por el grosor del corte, delta x .

Esto parece una suma de Riemann. Esto es de cálculo integral básico. Sabemos que el límite, como delta x va a 0, de la suma, desde k = 1 a n , de A como una función de xk veces delta xk es igual a la integral sobre esa región, de una a b , de A (x) dx .

Entonces, ahora, en lugar de encontrar un montón de pequeños volúmenes y sumarlos, podemos encontrar una integral. Hagamos esto para nuestro cono inclinado hacia los lados. El volumen es igual a la integral de a a b de A (x) dx . Bueno, lo que son una y la b ? a va a ser el lado izquierdo, o la parte inferior de mi cono en x . Y b será la parte superior de mi cono en x . En mi cono volcado, comencé en x = 0 y terminé en, digamos, x = h, para la altura de mi cono.

Mi integral va de un límite inferior de 0 a un límite superior de h . Recuerde que esta área es mi área de sección transversal en x . Recuerde que el área de la sección transversal en algún valor de x es igual a pi * x ^ 2, porque el radio de cualquiera de estos cortes será x . dx , por supuesto, permanece igual, por lo que ahora tengo una integral de 0 ah de pi * x ^ 2 * dx .

Si resuelve esto, y no voy a repasar todos los detalles aquí, pero si realmente resuelve esta integral, terminará encontrando que el volumen es igual a 1/3 * pi * h ^ 3. Esto coincide muy bien con lo que aprendiste en geometría, que es que el volumen es 1/3 de la altura por el área de la base, por lo que esa es el área de la parte más ancha. Entonces, 1/3 * altura * área base es lo mismo que 1/3 * h * pi * h ^ 2. Eso se simplifica en lo que acabamos de encontrar por volumen al cortar. 1/3 * h * pi * h ^ 2 es lo mismo que 1/3 * pi * h ^ 3.

Hallar el volumen de una pirámide

¿Puedo encontrar el volumen de esta pirámide con la cabeza cortada? Bueno, que necesito? Necesito conocer el área de la sección transversal de esta pirámide para todos los valores de x . Entonces, ¿puedo escribir el área en función de x ?

Diagrama de una pirámide sin cabeza.

Entonces, el área de la sección transversal aquí es igual al área de este rectángulo . El rectángulo tiene una altura de 5 x . Eso es -2 x y este 3 x . El ancho de este rectángulo es igual ax , porque lo definimos originalmente como igual ax .

Bien, mi sección transversal es 5 x alto y x ancho. El área de esta sección transversal será 5 x ^ 2. Bueno, ahora que conozco el área de una sección transversal, todo lo que necesito es conectar esto con los límites correctos de x .

Recuerde que mi volumen es la integral de un extremo, a , al otro extremo, b , del área de la sección transversal, en función de x * dx . En este caso, mi pirámide va de x = 1 a x = 4, entonces esos son los límites de mi integración, x = 1 ax = 4, del área de una sección transversal, 5 x ^ 2 * dx . Si toma esta integral, encontrará el volumen de esta pirámide de forma extraña y cabeza cortada.

Resumen de la lección

Bien, repasemos. El volumen por corte es realmente solo una forma de hacer una suma de Riemann, donde está sumando pequeños volúmenes de áreas transversales por el grosor de los cortes. Cuando lo hace el volumen de rebanado, encontrará que el volumen de una región es igual a la integral de x = a a x = b de la sección transversal como una función de x veces dx .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador