Antiderivada: reglas, fórmulas y ejemplos

Descripción general de las antiderivadas

Existen múltiples enfoques para explicar el significado del término antiderivada, pero el más fácil de entender es la explicación gráfica. Sin embargo, no podemos tener una discusión sobre las antiderivadas sin reconocer a su socio en el crimen… lo adivinó: la derivada.

La derivada se define como la pendiente de la línea que corre tangente a una función en un punto específico. Por ejemplo, la siguiente imagen muestra la función y = x² en azul. Se ha dibujado una línea tangente de puntos para tres puntos diferentes. Notará que la pendiente se duplica a medida que se mueve a lo largo del eje x; si la pendiente es el doble del número que ingresa en la función como vemos aquí, entonces la derivada es 2x.

Por otro lado, la antiderivada se define como el área debajo de una función dentro de un límite específico. Por ejemplo, si nuestra función es y = 2x (la derivada del ejemplo anterior), el área debajo de la gráfica es un triángulo.

Puedes encontrar la antiderivada en diferentes puntos a lo largo de la línea usando la fórmula para el área de un triángulo, que es ½ * base * altura:

¿Puedes ver la función que se está formando? Es y = x², la función con la que comenzamos.

La antidiferenciación es el proceso de calcular la antiderivada de una función, así como la diferenciación es el proceso de calcular la derivada de una función. Repasemos las instrucciones para realizar cálculos de antidiferenciación.

Fórmula de antiderivada

Ahora que entendemos la base física de la antiderivada, es hora de revelar la fórmula que usaremos para calcularlas. Usar esta fórmula para encontrar la antiderivada de una función es bastante fácil porque no tienes que preocuparte por cómo se ve su gráfica. Y para las funciones no trigonométricas, es realmente bastante simple:

Es posible que vea algo de esta notación por primera vez. En matemáticas, f (x) es solo una forma genérica de indicar una función. La a se usa como marcador de posición para cualquier número constante y la n representa un exponente. El término C también es una constante, pero tiene un propósito diferente que se explicará más adelante en la lección. Finalmente, usamos F (x) para representar la antiderivada de la función f (x).

Ejemplo uno

Es hora de nuestro primer momento de ‘whoa, acabo de hacer cálculo’. Utilicemos esta nueva fórmula en un problema de ejemplo.

Ejemplo uno: Dada la función f (x) = 3x², encuentre F (x).

Solución: Recuerde, preguntar por F (x) es lo mismo que pedirnos que encontremos la antiderivada de la función f (x).

Paso uno : Identifica las partes de la función original: constante a = 3, n = 2.

Paso dos : sustituya los valores del paso uno en la fórmula de antiderivada:

Paso tres : Informe su respuesta final: f (x) = x³ + C.

Paso cuatro : verifica tu respuesta tomando la derivada de x³.

Reglas básicas de las antiderivadas

Ampliemos lo que acabamos de aprender repasando algunas pautas adicionales que necesitará para resolver problemas de antiderivadas.

Regla uno : No todas las constantes se tratan igual en los problemas de antidiferenciación.

• La antiderivada de una constante independiente es a es igual a ax .
• Una constante multiplicadora, como a en ax , se multiplica por la antiderivada tal como estaba en la función original. Por ejemplo, si f (x) = ax, F (x) = ½ * a * x².

Regla dos : La antiderivada de cero es un número constante desconocido C , a menos que se le haya proporcionado información más específica.

Por ejemplo, en el ejemplo anterior, informamos nuestra respuesta como F (x) = x³ + C. Si nos hubieran dado información adicional, como la función pasa por el punto (0, 5), podríamos deducir que C = 5 porque F (0) = 5. Entonces podríamos informar una respuesta completa: F (x) = x³ + 5.

Regla tres : La antiderivada de una función polinomial se encuentra simplemente tomando las antiderivadas de cada uno de los términos individuales y luego sumando o restando como se indica.

Ejemplo dos: uso de la regla tres

Encuentre F (x) si f (x) = 3x² + x – 8.

Paso uno : tenga en cuenta que el problema se puede resolver aplicando la regla tres:

Paso dos : Encuentra la antiderivada de cada término.

Paso tres : sume o reste términos para combinar; ¡no olvides la constante!

Antiderivadas de funciones especiales

Hay varias otras funciones que pueden surgir a medida que continúe sus estudios de antiderivadas. Afortunadamente, una vez que se sienta cómodo trabajando con derivadas, puede pensar en sus cálculos de antiderivadas simplemente trabajando a la inversa. Por ejemplo, si sabe que la derivada de sin (x) es cos (x), entonces sabe que la antiderivada de cos (x) es sin (x).

Repasemos algunas funciones comunes y sus antiderivadas. La fórmula de antiderivada que aprendimos anteriormente no es aplicable a estas funciones. Si continúa avanzando en su estudio del cálculo, verá cómo se derivaron estas relaciones.

Ejemplo tres: funciones especiales

Hagamos un ejemplo más.

Paso uno : encuentre la solución general para la antiderivada.

Paso dos : Elija un punto como (0, 2) y sustituya F (x).

Paso tres : Informe su solución.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendimos sobre un concepto importante en cálculo, la antiderivada. Después de definir la antiderivada como el área debajo de una función dentro de un límite específico, demostramos cómo realizar un cálculo de antidiferenciación. Junto con nuestra nueva fórmula, aprendimos tres reglas esenciales que deben seguirse al resolver un problema de antiderivadas. Finalmente, identificamos las limitaciones de nuestra nueva fórmula y las reglas que se utilizan para resolver problemas que incluyen funciones trigonométricas y otras funciones especiales. Éstos requieren un enfoque diferente, como una tabla de consulta.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador