Cómo integrar sec (5x): Pasos y tutorial

Integrar secante 5 x

Integramos sec 5 x usando dos métodos. Diferenciar verifica las respuestas. Además, la integral se evaluará entre dos valores de x para dar el área bajo una porción de la curva sec 5 x .

Integración mediante fracciones parciales

Dado que la secante es 1 / coseno, el dominio debe evitar la división por 0:

• 5 x ≠ (2 n – 1) π / 2 para n =…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,… porque para estos valores, el coseno es 0
• Por lo tanto, x ≠ (2 n – 1) π / 10 (habiendo dividido ambos lados entre 5)

Sea u = 5 x . Por lo tanto, d u = 5 d x y d x = d u / 5:

Escriba sec u = 1 / cos u y multiplique por (cos u / cos u ):

El denominador es el coseno al cuadrado:

De sin 2 u + cos 2 u = 1, escriba cos 2 u como 1 – sin 2 u :

La integración se convierte en:

Sea v = sin u que significa d v = cos u d u :

Escriba 1 – v 2 como (1 – v ) (1 + v ):

Haz una expansión de fracción parcial:

Encuentra A y B:

1 / (1 – v 2 ) se convierte en:

La integración se convierte en:

Evaluar cada integral del lado derecho por separado.

Sea w = 1 – v , d w = -d v :

La integral de d w / w es ln | w |:

Sustituye w por 1 – v :

Sustituye v por sin u :

Reemplaza 5 x por u :

Evaluando la segunda integral, esta vez w = 1 + v y d w = d v :

Como antes:

Sustituye w por 1 + v :

Sustituye v por sin u :

Reemplaza 5 x por u :

La integral de sec 5 x se convierte en:

La diferencia de logaritmos es el logaritmo de un cociente:

1/2 veces 1/5 da 1/10. Una integral indefinida incluye una constante C.

Y este es nuestro primer resultado para la integración de sec 5 x .

Usando un método inteligente

Nuevamente, multiplique por 1 pero la forma es:

Multiplica el integrando, sec u , por el » 1 »:

Nuestro integral:

Sea v = sec u + tan u . Para encontrar d v se requieren derivadas de sec u y tan u :

Usando sec u = 1 / cos u :

Entonces, 1 / cos u = (cos u ) -1 :

Usando la regla de la cadena:

Negativo multiplicado por negativo es positivo y cos u vuelve al denominador:

Para la derivada de tan u , reemplace tan u con sen u / cos u :

Usando la regla del cociente:

Simplificando:

Usando sin 2 u + cos 2 u = 1:

Y 1 / cos 2 u = sec 2 u .

Por lo tanto, d v = (sec u tan u + sec 2 u ) d u .

La integral se convierte en:

La integral de d v / v :

Reemplazo de v y u :

Esta es nuestra segunda solución a la integral de sec 5 x .

Mostrar los resultados son equivalentes

Para mostrar que estos resultados son equivalentes, multiplique el numerador y denominador del primer resultado por 1 + sin 5 x :

El numerador se convierte en (1 + sin 5 x ) 2 y el denominador se convierte en 1 – sin 2 5 x :

Dado que 1 – sin 2 5 x es cos 2 5 x :

Escriba el 2 fuera de un paréntesis:

Sustituyendo esta expresión en el primer resultado:

El logaritmo de algo a un exponente es el exponente multiplicado por el logaritmo. Entonces el 2 sale al frente:

2 por 1/10 es 1/5 y (1 + sin 5 x ) / cos 5 x es 1 / cox 5 x + sin 5 x / cos 5 x :

1 / cos 5 x = sec 5 x y sen 5 x / cos 5 x = tan 5 x :

Cuál es el segundo resultado y, por tanto, los resultados son equivalentes.

Comprobación del resultado

La derivada de cualquier resultado equivalente debe ser igual a sec 5 x . En general, la derivada de ln y = d y / y :

Los 5 se cancelan y sec 5 x se factoriza fuera del numerador.

La cancelación del término común deja sec 5 x :

Esto verifica el resultado.

Encontrar el área debajo de la curva

Sustituyendo los límites de integración de x = -.2 ax = .25 da el área bajo la curva delimitada por este intervalo:

Integral de sec 5x de -.2 a .25

El cálculo que conduce a la respuesta de 0,6095:

Resumen de la lección

En esta lección encontramos dos soluciones equivalentes a la integral de sec 5 x :

y

Estos resultados se comprobaron diferenciando. También se calculó el área bajo la curva de seg 5 x sobre un intervalo finito usando uno de estos resultados como anti-derivado.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador