Antiderivadas
Suponga que es un científico espacial y está trabajando en un problema en el que acaba de encontrar que la derivada de una función, F ( x ), es f ( x ) = 8 x 7 .
Sin embargo, momentos después de encontrar la derivada, perdió el papel que tenía la función original. ¡UH oh! ¿Cómo vas a averiguar cuál es la función original si solo conoces su derivada?
¡No es para preocuparse! La respuesta está en las antiderivadas. La antiderivada de una función, f ( x ), es igual a la función F ( x ), tal que f ( x ) es la derivada de F ( x ). La notación que usamos para indicar la antiderivada de f ( x ) es la siguiente:
- Antiderivada de f ( x ) = ∫ f ( x ) dx
La antiderivada de una función, f , es la función de la que f es la derivada. Es decir, si f ( x ) es la derivada de F ( x ), entonces tenemos lo siguiente:
- ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , donde C es cualquier constante
Encontrar derivadas de sumas, productos, diferencias y cocientes
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Por lo tanto, la función original con la que estaba trabajando, F ( x ), es igual a la antiderivada de 8 x 7 , o la función cuya derivada es 8 x 7 . Esta función es F ( x ) = x 8 + C , donde C es una constante, porque la derivada de x 8 + C es 8 x 7 .
- ∫ 8 x 7 dx = x 8 + C
Usas algunos de tus otros cálculos para determinar que en este caso C = 0, entonces tienes tu función original de F ( x ) = x 8 . ¡Uf! ¡Eso estuvo cerca! ¡A la siguiente tarea para resolver el problema científico espacial en el que está trabajando!
Cómo antidiferenciar sumas
La siguiente tarea en este problema es calcular la antiderivada de la suma de la función, f ( x ) = 8 x 7 y la función g ( x ) = sin ( x ). Afortunadamente, tenemos una buena regla que nos permite encontrar la antiderivada de una suma de funciones con bastante facilidad.
Cuando queremos encontrar la antiderivada de una suma de funciones, f ( x ) + g ( x ), usamos la siguiente regla:
Cómo antidiferenciar funciones logarítmicas
- ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
Vemos que para encontrar la antiderivada de una suma de funciones f ( x ) y g ( x ), simplemente encontramos la suma de las antiderivadas de esas funciones.
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¡Esta es una gran noticia! Podemos usar esto para completar la siguiente tarea en el problema en el que está trabajando. Para encontrar la antiderivada de la suma de f ( x ) = 8 x 7 y g ( x ) = sin ( x ), hallamos la suma de las antiderivadas de estas dos funciones.
- ∫ 8 x 7 + sin ( x ) dx = ∫ 8 x 7 dx + ∫ sin ( x ) dx
Ya conocemos la primitiva de 8 x 7 es x 8 + C , y puesto que sen ( x ) es la derivada de -cos ( x ), tenemos que la primitiva de sen ( x ) es -cos ( x ) + C . Los conectamos a nuestra fórmula y tenemos la antiderivada de la suma. Podemos dejar la constante C hasta el final de nuestros cálculos, porque es cualquier constante. Sumar dos constantes juntas solo da otra constante, por lo que no tenemos que preocuparnos por incluir la constante general, C , en los cálculos.
Sumando en matemáticas: definición y explicación
- ∫ 8 x 7 + sin ( x ) dx = ∫ 8 x 7 dx + ∫ sin ( x ) dx = x 8 + (-cos ( x )) + C = x 8 – cos ( x ) + C
¡Lo hicimos! Encontramos la antiderivada de la suma de las funciones, ¡y nuestra fórmula hizo que fuera bastante fácil de hacer! Consideremos otro ejemplo.
Ejemplo
Para practicar un poco más, considere los siguientes hechos:
- 9 es la derivada de 9 x .
- 1 / x es la derivada de ln ( x ).
En primer lugar, ¿ves cómo hallar la antiderivada de 9 o de 1 / x usando estos hechos? Bueno, si 9 es la derivada de 9 x , entonces 9 x + C es la antiderivada de 9. De manera similar, si 1 / x es la derivada de ln ( x ), entonces ln ( x ) + C es la antiderivada de 1 / x . ¡Eso es bastante fácil!
Ahora, pongamos nuestra fórmula de suma para utilizar las antiderivadas. Suponga que queremos encontrar la antiderivada de 9 + 1 / x . ¡Ah! ¡Una suma de funciones! ¡Podemos usar nuestra regla!
| ∫ 9 + 1 / x dx | Usa la fórmula |
| = ∫ 9 dx + ∫ 1 / x dx | Conecte nuestras antiderivadas |
| = 9 x + ln ( x ) | Agregue la constante C |
| = 9 x + ln ( x ) + C | ¡Esta es nuestra respuesta! |
¡Increíble! Terminamos con
- ∫ 9 + 1 / x dx = 9 x + ln ( x ) + C , donde C es una constante
¿No crees que esta fórmula es genial?
Resumen de la lección
La antiderivada de una función, f ( x ), es igual a la función F ( x ), tal que f ( x ) es la derivada de F ( x ), y la notación que usamos para escribir la antiderivada de f ( x ) es ∫ f ( x ) dx . Es decir, si f ( x ) es la derivada de F ( x ), entonces tenemos lo siguiente:
- ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , donde C es cualquier constante
A veces, necesitamos encontrar la antiderivada de una suma de funciones. Cuando este es el caso, usamos la siguiente fórmula:
- ∫ f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx
Una forma fácil de recordar esto es que la antiderivada de una suma es la suma de las antiderivadas. En general, vemos que nuestra fórmula que nos muestra cómo antidiferenciar sumas realmente nos facilita las cosas. ¡Por supuesto, todo esto fue probablemente bastante simple de todos modos para un científico espacial como usted!
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