¿Qué son los números críticos?
Imagine que tiene 40 pies de piedras que desea usar para bordear un nuevo jardín de flores en su jardín. ¿Cuál sería la mejor manera de colocar las piedras para tener el área máxima para el cultivo de flores? ¿Deberías hacer un cuadrado de 10 pies de lado? ¿O debería ser un rectángulo de 15 de largo y 5 pies de ancho? Podrías probar un montón de formas y medir cuál creó el área más grande, ¡pero hay una mejor manera! Si comprende los números críticos y cómo encontrarlos, puede resolver rápidamente este dilema y comenzar a disfrutar de hermosas flores.
Como otro ejemplo, suponga que lanza una pelota al aire. ¿Qué tan alto estará cuando se dé la vuelta? ¿Cuánto tiempo llevará? Usando un poco de física simple, podría hacer un gráfico de la posición de la pelota a lo largo del tiempo y encontrar los números críticos de la función para determinar exactamente cuándo y dónde la pelota dará la vuelta y comenzará a caer de regreso a la Tierra.
Antes de comenzar a planificar su nuevo jardín o jugar a la pelota, analicemos un poco más profundamente los números críticos y cómo encontrarlos.
Números críticos en un gráfico
El número crítico es la coordenada x de lo que se conoce como punto crítico. Llegaremos a una definición más técnica un poco más tarde, pero por ahora eso es suficiente con saberlo.
Para comenzar a comprender qué hace que un punto sea un punto crítico , observe la gráfica de una función f (x) a continuación:
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¿Observa algo especial en los puntos que están etiquetados como puntos críticos? Mira con atención … te atenderemos.
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¿Notaste que los puntos críticos fueron los lugares donde la gráfica cambió de dirección? ¡Así es! De hecho, eso es exactamente lo que los convierte en puntos críticos.
En el lenguaje matemático formal, los puntos críticos se definen así:
Para una función f que se define en b , si f (b) = 0 o no es diferenciable, entonces b es un número crítico y ( b , y ) es un punto crítico (donde y es el valor y correspondiente de f )
Eso suena bastante complicado, pero pensemos en lo que realmente significa. En particular, ¿qué tienen que ver las derivadas con estos lugares donde la función cambia de dirección? Recuerda que la derivada de una función te dice la pendiente de una recta tangente a la función en cada punto. Veamos nuevamente cuál sería la pendiente en esos puntos críticos.
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Puede ver que en todos los casos donde la pendiente es cero, la función cambió de dirección.
La definición anterior también dice que ocurre un punto crítico donde la función no es diferenciable. Esto significa en un punto donde la derivada no está definida. ¿Cómo crees que se vería?
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Cuando la línea tangente es una línea vertical, la pendiente no está definida o es cero. Por lo tanto, los puntos críticos se ubicarán en lugares donde la pendiente sea horizontal o vertical, lo que significa que la derivada es cero o indefinida.
Eso significa que para encontrar los números críticos de una función, solo necesitamos encontrar la derivada de la función y luego determinar las coordenadas x donde la derivada es cero o no está definida.
Encontrar números críticos
Dada una función f (x) = 3 x 2 – 6 x + 8, ¿cómo hallarías los números críticos?
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Bueno, una forma de hacer esto sería graficar la función y ubicar todos los puntos donde cambia de dirección. También puede encontrar los puntos determinando dónde la derivada es igual a cero. Veamos cómo hacerlo en detalle.
Primero, encuentra la derivada de la función:
f ‘(x) = 6 x – 6
Luego, iguale esto a cero y resuelva para x .
6 x – 6 = 0
6 x = 6
x = 1
Entonces, el número crítico para esta función es x = 1.
Esto significa que la función cambia de dirección en x = 1.
¡Es así de simple!
Ahora, probemos con otro problema. Dada la función f (x) = x 3 -9 x 2 – 21 x , encontrar los números críticos.
Una vez más, primero desea encontrar la derivada de la función:
f ‘(x) = 3 x 2 -18 x – 21
Luego, ajústelo a cero y resuelva para x :
3 x 2 -18 x – 21 = 0
Esto es un poco más complicado de resolver que el primer ejemplo, y hay dos formas de abordarlo. Primero, dado que esta es una ecuación cuadrática, podrías usar la fórmula cuadrática. También puede intentar ver si puede factorizarlo. Intentemos hacer eso primero y veamos si funciona. Para factorizar esta cuadrática, comience por determinar cuál debe ser el primer término en cada factor. En este caso, un factor debe contener 3 x y el otro x :
(3 x + __) ( x + __) = 0
Luego, determine los factores de 21 (1 y 21 o 3 y 7) y piense cómo podría usar estos factores en los espacios en blanco de arriba para obtener la ecuación original. Creo que los factores podrían ser (3 x + 3) y ( x – 7), pero multipliquemos estos juntos solo para verificar:
(3 x + 3) ( x – 7) = 3 x 2 – 21 x + 3 x – 21 = 3 x 2 -18 x – 21
¡Excelente! ¡Eso funciona!
Ahora estamos listos para encontrar los números críticos:
(3 x + 3) = 0 y ( x – 7) = 0
x = 1 y -7
Así, el gráfico de f (x) = x 3 -9 x 2 – 21 x cambiaría direcciones a tanto x = 1 y x = 7.
Resumen de la lección
Los números críticos te dicen los puntos donde la gráfica de una función cambia de dirección. En estos puntos, la pendiente de una recta tangente a la gráfica será cero, por lo que puede encontrar números críticos encontrando primero la derivada de la función y luego ajustándola a cero. Las soluciones serán los números críticos.
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