Cómo utilizar la prueba de la segunda derivada

Pasos para resolver

La prueba de la segunda derivada usa la primera y la segunda derivada de una función para determinar los máximos y mínimos relativos de una función. Comencemos con un montón de definiciones. Los puntos máximos relativos son puntos que tienen un valor de y mayor que los puntos a su alrededor, y los puntos mínimos relativos son puntos que tienen un valor de y menor que los puntos a su alrededor.

Una función es cóncava hacia arriba si su pendiente aumenta de izquierda a derecha. Una función es cóncava hacia abajo si su pendiente disminuye de izquierda a derecha. El punto en el que una función cambia de cóncavo hacia arriba a cóncavo hacia abajo, o viceversa, se denomina punto de inflexión .

¡Uf! Bien, ahora estamos listos para discutir la prueba de la segunda derivada. Todo gira en torno a dos hechos.

1. Para una función, f ( x ), si f ‘( c ) = 0, entonces f ( c ) tiene un punto máximo, mínimo o de inflexión en c .
2. Si f » ( c )> 0, entonces f ( x ) es cóncava hacia arriba en x = c , y si f » ( c ) <0, entonces f ( x ) es cóncava hacia abajo en x = c .

Estos dos hechos conducen a la prueba de la segunda derivada, que establece que para una función f ( x ), si f ‘( c ) = 0, las siguientes tres afirmaciones son verdaderas:

1. Si f » ( c )> 0, entonces f ( c ) es un mínimo relativo.
2. Si f » ( c ) <0, entonces f ( c ) es un máximo relativo.
3. Si f » ( c ) = 0, entonces tenemos que determinar si el punto es un máximo relativo, un mínimo relativo usando la prueba de la primera derivada, que establece lo siguiente:

• Si f ‘cambia de positivo a negativo en c , entonces f tiene un máximo local en c .
• Si f ‘cambia de negativo a positivo en c , entonces f ‘ tiene un mínimo local en c .
• Si f ‘no cambia de signo en c , entonces f no tiene un máximo o mínimo en c .

Juntando todo esto, tenemos que usar la prueba de la segunda derivada para determinar los máximos y mínimos relativos de una función, f ( x ), usamos los siguientes pasos:

1. Encuentre f ‘( x ) y f ‘ ‘( x ).
2. Establezca f ‘( x ) = 0 y resuelva para x .
3. Inserte su (s) solución (es) del paso 2 en f » ( x ) y use las reglas establecidas en la prueba de la segunda derivada para determinar si hay un punto máximo o mínimo en estos valores.
4. Reemplaza los mismos valores en f ( x ) para encontrar el valor real de los máximos o mínimos relativos.

Bueno, eso es mucha información, ¡pero al menos tenemos un esquema de cómo usar esta prueba de la segunda derivada para analizar funciones!

Solución

Para usar la prueba de la segunda derivada para determinar los máximos y mínimos relativos de una función, usamos los siguientes pasos:

1. Encuentre f ‘( x ) y f ‘ ‘( x ).
2. Establezca f ‘( x ) = 0 y resuelva para x .
3. Inserte su (s) solución (es) del paso 2 en f » ( x ) y use las reglas establecidas en la prueba de la segunda derivada para determinar si hay un punto máximo o mínimo en estos valores.
4. Reemplace los mismos valores (del paso 2) en f ( x ) para encontrar el valor real de los máximos o mínimos relativos.

Solicitud

Nuevamente, ¡esta es mucha información! Cuando este es el caso, siempre es útil usar una aplicación para practicar lo que acabamos de aprender. Consideremos una pista de esquí de fondo. Supongamos que Emily está esquiando de fondo en un desafiante sendero montañoso de 4 millas que se puede modelar con la siguiente función:

h ( x ) = (1/3) x 3 – (5/2) x 2 + 6 x

donde h ( x ) es la altura sobre el nivel del mar (en cientos de pies), yx es el número de millas desde el inicio del sendero hasta el final del sendero.

Quiere saber dónde se encuentran los picos y valles del sendero a lo largo del curso. ¡Perfecto! ¡Podemos encontrar dónde están esos picos y valles usando nuestra prueba de la segunda derivada! Empecemos.

Primero, queremos encontrar h ‘( x ) y h ‘ ‘( x ).

Obtenemos lo siguiente:

h ‘( x ) = x 2 – 5 x + 6

h » ( x ) = 2 x – 5

El siguiente paso es establecer h ‘( x ) = 0 y resolver para x .

Obtenemos que h ‘( x ) = 0 cuando x = 2 y cuando x = 3. Ahora, podemos usar nuestra prueba de la segunda derivada para determinar si estas son las ubicaciones de máximos relativos o mínimos relativos. Primero, veremos x = 2. Conectamos esto a la segunda derivada.

Obtenemos que h » (2) = -1, que es menor que 0, por lo que según la prueba de la segunda derivada, hay un máximo relativo en x = 2. ¡Muy bien, hasta ahora todo bien! Sabemos que tenemos un pico a 2 millas. Comprobemos x = 3.

Obtenemos que h » (3) = 1, que es mayor que 0. Según la prueba de la segunda derivada, hay un mínimo relativo en x = 3, por lo que esta es la ubicación de un valle. ¡Increíble! También podemos calcular esos valores máximos y mínimos relativos sustituyendo x = 2 y x = 3 en h ( x ).

Dado que la altura se da en cientos de pies, multiplicamos nuestras respuestas por 100 para obtener un pico a 2 millas de aproximadamente 466 pies y un valle a 3 millas de 450 pies. ¡Oh wow! ¡Es fascinante que obtuvimos toda esa información de la prueba de la segunda derivada! ¡Esta es definitivamente una herramienta útil para guardar en nuestra caja de herramientas matemáticas para uso futuro!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador