Definición del logaritmo natural con una integral definida

Definición del logaritmo natural con una integral definida

Habiendo escuchado los términos “tronco” y “tronco natural”, Fred se pregunta acerca de los árboles, los leñadores y las balsas de río … No se necesita mucho para poner a Fred por la tangente. Ayudémoslo a mantenerse enfocado definiendo el logaritmo natural. El resultado que buscamos es:

No te preocupes, Fred. Revisaremos los logaritmos en general y el número e en nuestro camino hacia esta definición del logaritmo natural.

Conceptos básicos de logaritmos

Comencemos esta revisión de registros con una discusión de exponentes. Como 10 2 significa 10 por 10, que es 100. Aquí hay otras potencias de 10:

• 10 3 = 1000
• 10 1 = 10

También podemos tener potencias negativas de 10. Por ejemplo:

• 10 -2 = 1 / (10 2 ) = 1/100 = 0,01
• 10 -1 = 1/10 = .1

Y 10 0 = 1.

¿Cómo se relaciona esto con los logaritmos? Podemos leer logaritmos con una pregunta. Fred está intrigado porque siempre está haciendo preguntas. Cuando leemos log 10 100, la pregunta es “¿10 a qué potencia da 100?”. La respuesta a la pregunta: 10 elevado a 2 da 100. Por lo tanto, log 10 100 = 2. Algún otro log 10 para interpretar:

• log 10 1000 = 3
• log 10 10 = 1
• log 10 .01 = -2

Y log 10 1 = 0.

Algo interesante sucede cuando escribimos log 10 10 3 . La respuesta, 3, es el exponente. En general, podríamos escribir log 10 10 x = x.

El logaritmo y la exponenciación son operaciones inversas : se deshacen entre sí.

La base en el registro de declaración 10 es el número 10. También se utilizan otros números como base. El número natural, e , es muy importante como base para los logaritmos. En lugar de escribir log e escribimos ln.

Las inversas son ahora ln e x = x y e ln x = x.

Fred quisiera un poco más de revisión sobre el número natural , e . Algunos factoides:

• e es un número irracional
• e = 2,718281…
• la derivada de e x es e x
• la derivada de e a x es e a x multiplicada por la derivada de a x

Derivación de la expresión de logaritmo natural

Recuerde que e e ln son operaciones inversas. Uno deshace al otro. Empezamos con:

Ahora, toma la derivada de ambos lados:

¿Recuerda cómo la derivada de e a x es e a x multiplicada por la derivada de a x ? Reemplaza una x con ln x . En el lado izquierdo, la derivada de e ln x es e ln x veces la derivada de ln x :

El lado derecho es la derivada de x, que es 1.

Hasta ahora, tenemos algo multiplicado por una cantidad en un paréntesis es igual a 1. El algo es e ln x que es x . Así,

Dividiendo ambos lados por x :

Si Fred lee esta afirmación, nota que la derivada de ln x es 1 / x . Además, la anti-derivada es lo que diferencia para obtener la función. Entonces, la anti-derivada de 1 / x es ln x .

El Teorema Fundamental del Cálculo dice que la integral definida de una función se puede calcular usando la anti-derivada. La anti-derivada de 1 / x es ln x . Entonces, integrar 1 / x de 1 ax requiere evaluar la anti-derivada en 1 y en x :

Sustituyendo el límite superior menos el límite inferior y simplificando:

Para simplificar, usamos el logaritmo de 1 es 0, que es cierto para cualquier base, incluida la base e .

Al leer esta ecuación de derecha a izquierda y escribir (1 / x ) d x como d x / x se obtiene:

¡Excelente! ¡Hemos terminado! Fred ve este resultado como lo que queríamos mostrar. Ahora puede volver a soñar con cortar árboles y transportar troncos río abajo.

Resumen de la lección

La inversa de una función la deshará. Por ejemplo, la función e x se puede deshacer con el logaritmo natural, ln. Significado ln e x = x . El logaritmo natural es un logaritmo de base e donde e es el número natural . Dado que la derivada de ln x es 1 / x , la anti-derivada de 1 / x es ln x . El Teorema Fundamental del Cálculo permite evaluar una integral definida usando la anti-derivada. En esta lección, mostramos la integral definida de 1 / xde 1 ax es la anti-derivada, ln x , evaluada en xy en 1. Esto conduce a la definición del logaritmo natural con una integral definida.