Preparando el problema
Kevin está en el último año de la escuela secundaria y está un poco perplejo con su tarea de cálculo. Normalmente, es bastante bueno en matemáticas, pero tuvo que faltar a clase hoy debido a una cita con el dentista. A veces faltar a clases no es gran cosa, pero hoy se perdió la explicación del maestro de tomar derivadas de funciones compuestas. Kevin sabe por discusiones anteriores que una derivada de una función es solo una forma elegante de calcular cuál será la pendiente de la función original en cualquier punto específico. Saber cómo funciona la derivada de una función es útil para describir la función original.
Sin embargo, después de luchar durante un tiempo con derivadas para funciones compuestas, Kevin decide llamar a su hermano mayor, Martin, para que le ayude con este concepto. Martin es un estudiante de ingeniería y a menudo ha ayudado a Kevin con conceptos matemáticos difíciles en el pasado. Usar tutores es una buena idea al aprender nuevos conceptos. Después de que Kevin llama a Martin por teléfono, explica que tiene problemas para usar la regla del producto con derivadas, especialmente tomando la derivada de:
f ( x ) = 2sin ( x ) cos ( x )
Kevin explica además que ha leído el libro de texto y sabe que la regla del producto establece que si tienes una función f ( x ) = u * v , donde u y v son funciones continuas de x , entonces la derivada de f ( x ) puede ser dado como función de u , v y las derivadas de u y v . Específicamente,
Hallar la inversa de una matriz de 3×3
 |
Sin embargo, Kevin tiene problemas para entender la explicación de este libro. Martin explica que la regla del producto es útil para tomar las derivadas de funciones compuestas como esta. ¿Ha oído hablar alguna vez de la regla del producto? Echemos un vistazo más de cerca a lo que dice esta regla y cómo podemos aplicarla a este problema.
Para la ecuación de Kevin, tiene f ( x ) = 2sin ( x ) cos ( x ). ¿Qué debería elegir para u y v ? Bueno, Martin le ayuda a ver que podría elegir definir u = 2 y v = sin ( x ) cos ( x ). Sin embargo, eso dará lugar a algunas complicaciones, como veremos en breve. Una opción mucho mejor para esta situación sería u = 2sin ( x ) y v = cos ( x ).
Antes de que Kevin pueda sustituir en la ecuación de la regla del producto, primero deberá determinar las derivadas de u y v :
Notaciones para la derivada de una función
 |
Ahora que Kevin ha solidificado esas cuatro cantidades, Martin muestra cómo puede pasar al siguiente paso: sustituir en la ecuación de la regla del producto:
 |
¡Y está casi al final!
Hallar la suma de números consecutivos
Solución
La respuesta anterior es correcta y Kevin podría haberse detenido allí. Sin embargo, Martin quiere ser integral. Demuestra cómo Kevin puede limpiar bastante su respuesta si reconoce la pieza dentro de los corchetes como una identidad trigonométrica de doble ángulo . Con esa información adicional, puede extender los cálculos en una línea y tener una respuesta más elegante:
 |
Investigaciones más profundas
Volviendo a la pregunta de cuáles eran las mejores opciones para u y v en este problema, ¿por qué Martin no le dijo a Kevin que eligiera u = 2 y v = sin ( x ) cos ( x )? Trabajemos un poco más el problema con esa elección y veamos con qué terminamos:
 |
En otras palabras, esta elección de u y v cuando se usa la regla del producto significa que tenemos que llegar a la derivada para sin ( x ) cos ( x ). Tomar la derivada de algo tan complejo es la razón principal por la que estábamos tratando de usar la regla del producto para empezar. Entonces, aunque puede ser una expresión matemática precisa, no facilita la solución de este problema. Usted obtendrá mejor en la elección de u y v durante el uso de la regla del producto, pero todavía hay a menudo un poco de ensayo y error involucrados en este proceso.
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
