Integración por partes: definición y ejemplos
Funciones por partes
Si bien algunos restaurantes le permiten desayunar a cualquier hora del día, la mayoría de los lugares sirven desayuno, almuerzo y luego cena en diferentes momentos. Las diferentes comidas que sirven dependen de la hora del día. Asimismo, hay funciones que tienen diferentes expresiones en función de dónde se van a evaluar en el eje x . Estas se denominan funciones por partes . En lugar de determinar qué alimentos están disponibles en las horas del día, tenemos un menú de funciones que están disponibles en función de diferentes valores de x a lo largo del eje horizontal.
Antes de cubrir algunos ejemplos de cómo integrar funciones por partes, hay algunos pasos que pueden ayudar a que todo funcione sin problemas. Estos pasos son solo para evitar que mezcle el desayuno y la cena, y para asegurarse de que está trabajando con las expresiones correctas de funciones por partes para diferentes valores de x :
- Divida su integración por partes en dos integrales separadas según los límites de la integral definida: si tiene problemas para verla, intente usar una recta numérica para visualizar qué expresión se aplica en función de los valores de x .
- Evalúa cada integral por sí sola y luego suma los resultados.
¡Eso es! Siempre que sepa cómo integrar una función y realizar un seguimiento de cerca de sus valores x , debe estar en buena forma. Bien, analicemos algunos ejemplos.
Ejemplo 1
El ejemplo 1 muestra una función por partes.
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En el ejemplo 1, para x <1, la expresión es 1 + x . Para x ≥ 1, la expresión es x 2 . Podemos integrar esta función por partes usando integrales definidas separadas con las expresiones correspondientes. Comencemos integrando el Ejemplo 1 por partes entre – 1 y 3.
Comenzamos con una expresión general para nuestra integral definida, que es
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Podemos dividir esto en dos integrales separadas basadas en los límites de la integral definida. Usemos una recta numérica para identificar qué expresión se aplica en función de los valores de x .
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Mirando la recta numérica, vemos cómo podemos establecer dos integrales basadas en los límites x . Vamos a ir de x = – 1 ax = 1 para la primera expresión, luego continuamos a la siguiente expresión de x = 1 a x = 3. Las integrales por partes son
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Evaluamos estas integrales y luego sumamos los resultados. Evaluemos la primera integral. Comenzamos integrando la función en preparación para evaluar el resultado entre – 1 y 1. Esto nos da
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Ahora evaluamos la ecuación entre los límites dando
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Ahora podemos completar la segunda integral en preparación para evaluarla entre 1 y 3. Esto da como resultado
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Al evaluar esta integral obtenemos
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Ahora sumamos ambos resultados para obtener la respuesta final, que es
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Ejemplo 2
Trabajemos otro ejemplo de integración por partes. Esta vez nos ocuparemos de una función por partes que involucra dos funciones trigonométricas. La función por partes se muestra en el ejemplo 2.
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Evaluemos esta función entre -π y 2π. La expresión general de este problema es
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Es útil configurar las rectas numéricas para ver qué función se aplica entre los límites para poder dividirla.
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La configuración integral por partes es
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Comenzando con la primera integral obtenemos
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Evaluando esto obtenemos
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Ahora configuramos integrar la segunda función dando
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Evaluar esta expresión entre los límites da como resultado
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Finalmente, sumamos los dos resultados que nos dan
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Ejemplo 3
Haremos un ejemplo más de integración de una función por partes, que se muestra en el Ejemplo 3.
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Evaluaremos esta integral de – 1 a 1. Comenzamos con la expresión general, que es
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Configurando la recta numérica, mostrando qué función se aplica entre los límites, obtenemos
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Ahora podemos configurar la expresión de integración por partes, que es
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Ahora integramos ambas integrales simultáneamente. Recuerda que cuando integramos e x , vamos a terminar con un e x , entonces esto da como resultado
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Finalmente evaluamos ambas integrales resultando en
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Resumen de la lección
Una función por partes es una función que tiene diferentes expresiones en función de dónde se evaluará en el eje x . Al hacer integrales definidas de funciones por partes, configura múltiples integrales en función de qué expresión es válida entre los límites. Es útil dibujar una recta numérica que muestre los límites de la integral y qué expresión se aplica en cada intervalo. A partir de ahí, evalúe cada integral y sume sus resultados. Siempre que preste mucha atención a las “piezas” de una función por partes, ¡debería navegar sin problemas!