¿Qué es el método de Newton?
Predecir el camino de un ala delta
Hallazgo de raíz : también conocido como “lo que hace mi pie cuando camino por un parque”.
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Siempre quise aprender a volar en ala delta. Parece un poco más seguro que lanzarse en paracaídas, pero no estoy exactamente seguro. Este es mi gran temor, además de las alturas: estoy volando en ala delta y, oh, digamos que hay un lugar donde no quiero aterrizar pero parece que voy a aterrizar, como una pocilga. Ahora que estoy volando en ala delta, estoy tratando de aterrizar, y estoy tratando de determinar si voy a aterrizar o no en la pocilga. Así que tracemos mi altura en función de la distancia a lo largo de la Tierra.
Estoy viajando por esta línea aquí. Cuando llego, digamos 100 yardas arriba, miro hacia abajo y digo: ‘¡Oh, no! ¡En mi trayectoria actual, voy a aterrizar en la pocilga! ¿Cómo lo determiné? Bueno, miré lo rápido que cambiaba mi altura a medida que avanzaba. Realmente, miré la pendiente de mi altura en función de la línea de distancia. Desafortunadamente, ahora mismo parece que voy a aterrizar en la pocilga, así que cierro los ojos durante unos minutos. Cuando los abro, estoy mucho más lejos de lo que pensé que estaría, y aún no he tocado el suelo. Pensé que golpearía justo aquí en medio de la pocilga, pero ahora estoy tan lejos. Estoy justo encima del lugar en el que pensé que aterrizaría y todavía estoy a unos cien pies de altura. Entonces ahora quiero estimar dónde voy a aterrizar. Estoy más allá de la pocilga
Una vez más, tomo mi trayectoria actual, esa línea recta que es una tangente de mi altura en función de la distancia, y extrapolo. Esto dice que voy a aterrizar más allá de la pocilga. Eso está mucho mejor. Así que voy a marcar eso aquí mismo. Cuando llego, todavía no estoy del todo, pero estoy muy cerca del suelo. En realidad, golpeé solo unos metros más allá de eso. He aterrizado y no estoy en la pocilga.
Método de Newton
entonces, ¿qué hicimos? Bueno, en realidad usamos lo que, en matemáticas, se conoce como el método de Newton . Usaremos información sobre las derivadas, es decir, mi trayectoria actual, para encontrar raíces, donde las cosas van a cero.
En el caso de mi ala delta, ahí es donde mi altitud llega a cero. Así que veamos un ejemplo matemático donde tenemos y como una función f (x) . Ahora grafiquemos. Mi objetivo aquí es encontrar dónde esta función golpea el eje x . Entonces quiero saber qué valor de x me dará y = 0. Es decir, estoy tratando de resolver 0 = f (x) .
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Ahora, si yo fuera un mago, podría simplemente pensar en cualquier valor de x que me dé. Pero, en el mundo real, no lo sabemos. Entonces vamos a hacer una suposición.
Mi conjetura inicial es este lugar x sub 0. Si conecto x sub 0, descubro que y está muy arriba, en ninguna parte cerca de cero. Pero eso está bien; es solo una suposición inicial. Luego voy a calcular la derivada, esa es mi trayectoria, en ese punto. Entonces y sub 0 podría ser cuando estaba detrás de la pocilga. Estaba calculando mi trayectoria e iba a ver qué tan lejos estaba cuando golpeé el suelo. En este caso, voy a usar la derivada, esa es mi trayectoria, y voy a extrapolar dónde estaré cuando y llegue a cero. ¿Qué valor de x me dará y = 0? Aquí tengo la derivada en x sub 0 es f (xsub 0). Entonces eso me da otra estimación, eso me da x sub 1, llamémoslo. En x sub 1, aunque, si enchufo x sub 1 a y = f (x) , todavía encuentro que no estoy en y = 0; Estoy en un número mayor que cero. En este caso, estoy hasta aquí. Así que no estoy del todo ahí.
Voy a repetir el proceso. De nuevo miraré hacia abajo y diré: ‘¿Voy a aterrizar en la pocilga?’ Así que voy a mirar mi trayectoria. ¿Dónde voy a estar cuando y llegue a cero, cuando mi altitud llegue a cero? Bueno, eso me dará otra conjetura. Voy a llamar a eso x sub 2. Ahora, en este caso, x sub 2 podría estar lo suficientemente cerca del valor real de x que me dará y = 0. Digamos que si conecto x sub 2 af (x), Obtengo 1 pulgada. Ahora, si estoy volando en ala delta, una pulgada del suelo es lo suficientemente cerca. Puedo poner mi pie un poco más abajo para compensar eso. Por otro lado, digamos que tenemos una hormiga en ala delta. Esa hormiga necesita acercarse mucho más de 1 pulgada. Quiero decir, una pulgada es todavía muchos pisos sobre el suelo para una hormiga. Así que puede que no sea lo suficientemente cercano para una hormiga, pero lo es para mí. Voy a decir que mi raíz, donde y = 0, está en f ( x sub 2) y lo llamaré hecho.
Linealización
Así que esto es lo que llamamos método de Newton. Estamos usando la linealización, es decir, mi trayectoria actual, para encontrar raíces. Estamos estimando qué valor de x nos dará y = 0. Esto es lo que llamamos método iterativo. Así que vamos a hacer una suposición inicial, como x sub 0, y usaremos toda la información en x = 0, esa es mi altura actual, para extrapolar y encontrar una suposición mejor. Entonces, en este caso, estoy usando x sub 0 para encontrar x sub 1. Una vez que tengo x sub 1, puedo tomar eso como mi suposición inicial y usar x sub 1 para encontrar una suposición aún mejor, para encontrar una x sub 2.
Entonces, ¿qué ecuación necesito para encontrar x sub 1? Bueno, esto es exactamente lo que hice cuando estaba en ala delta. Dije, x sub 1 (donde voy a golpear el suelo) es igual a donde estoy ahora (mi x sub 0) menos y sub 0 (esa es mi altura actual) dividido por la derivada de f (x) ( donde estoy ahora). Voy a escribir eso como f (x sub 0). Esa es mi trayectoria actual. Así que voy a tocar el suelo en, eso es igual, mi posición actual, menos mi altura actual, dividida por mi trayectoria actual.
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Ahora bien, ¿de dónde viene esto? Bueno, puedo reescribir esto como mi trayectoria actual, f (x sub 0) = y sub 0 / ( x sub 0 – x sub 1). Esta ecuación proviene de la definición de derivada. La derivada es solo una pendiente, por lo que mi derivada, f (x sub 0), es realmente el cambio en y dividido por el cambio en x . Entonces f (x sub 0), esta pendiente aquí, es igual ay sub 0, que es este cambio aquí, dividido por la diferencia entre x sub 1 yx sub 0.
¿Entonces que tenemos? Tenemos una suposición inicial, x sub 0. Tenemos una altura inicial, que puedo escribir como f (x sub 0), o y sub 0. Lo uso para encontrar x sub 1. Esa es mi segunda suposición. Entonces puedo reutilizar mi ecuación con x sub 1 ahora en lugar de x sub 0, así que estoy más cerca del suelo ahora, aquí mismo, y voy a tomar una nueva estimación de dónde aterrizaré. Voy a usar la información de x sub 1 para encontrar un x sub 2; esa es mi segunda estimación de dónde aterrizaré. Y puedo seguir haciendo esto hasta que me acerque lo suficiente. Como dije, ‘¿Una pulgada? Multa.’ ¿Una pulgada para una hormiga? No muy bien. Quizás en ala delta puedas subir hasta un pie.y está a 1 pie del eje x, así que cuando la magnitud de y es 1 pie, lo llamaré bueno. Voy a decir que ahí está mi raíz. Esa es mi solución; ahí es donde voy a aterrizar.
Resumen de la lección
Bien, el Método de Newton realmente está tratando de averiguar si voy a aterrizar en la pocilga. Utiliza la linealización para estimar dónde alguna función es igual a cero. Usaré mi trayectoria actual para estimar dónde mi altitud es igual a cero. Es un método iterativo, lo que significa que cada vez que hago una estimación de dónde voy a tocar el suelo, en realidad voy a esperar hasta llegar allí, y voy a tomar una nueva estimación a partir de eso. Mancha. Entonces, si creo que voy a golpear el suelo en 1 pie, miraré los valores en 1 pie, ¿cuál es mi trayectoria en 1 pie? Y seguiré haciendo esto hasta que llegue al suelo.
Entonces este es un método iterativo. Lo que eso significa es que usaremos nuestra información actual para encontrar nuestro próximo paso. Nuestra información actual, nuestra suposición inicial, será x sub 0. Voy a insertar x sub 0 en esta ecuación para encontrar x sub 1. Luego voy a agregar x sub 1 para encontrar x sub 2, y así sucesivamente y así sucesivamente. La ecuación que usamos en el método de Newton es x ( n + 1), así que esa es nuestra próxima suposición, es igual a xn , nuestra suposición actual, menos yn , dividida por f (xn)– así que esa es información de nuestro lugar actual. Piense en esto como un ala delta hacia una pocilga. Su próxima estimación de dónde va a aterrizar es igual a su posición actual, menos su altura actual, dividida por su trayectoria actual.
Objetivos de la lección
Cuando complete esta lección, podrá:
- Explica el método de Newton
- Utilice el método iterativo para calcular dónde aterrizará un objeto