Tomando la derivada de arcsin: instructivo y tutorial

Derivada de Arcsin

Los pasos para tomar la derivada de arcsin x :

Paso 1: Escribe sin y = x ,

Esto puede parecer extraño. Estamos acostumbrados a escribir y es igual a alguna función de x como y = sin x . En cambio, estamos escribiendo alguna función de y es igual ax . La razón por la que hacemos esto es porque no es fácil trabajar con arcsin x . Pero sabemos que el arcoseno y el seno se cancelan entre sí, y el seno es mucho más fácil de trabajar, por lo que simplemente multiplicamos ambos lados de la ecuación por seno para obtener sin y = x .

Paso 2: Diferencia ambos lados de esta ecuación con respecto a x .

En el lado izquierdo, usando la regla de la cadena, la derivada de sin y es cos y por d y / d x . En el lado derecho, la derivada de x es 1.

Paso 3: resuelva para d y / d x .

Haz que d y / d x sea el sujeto dividiendo ambos lados por cos y :

Paso 4: Defina cos y en términos de x usando un triángulo de referencia.

Un triángulo de referencia muestra el ángulo y . El seno de y es el lado opuesto sobre la hipotenusa. Por tanto, el triángulo de referencia tiene una hipotenusa de 1 y un lado opuesto de x . El lado adyacente se encuentra usando el teorema de Pitágoras. El triángulo de referencia completo:

El triángulo de referencia

El coseno de y es el lado adyacente dividido por la hipotenusa. Desde el triángulo de referencia, el lado adyacente es √ (1 – x 2 ) y la hipotenusa es 1. Por lo tanto, cos y = √ (1 – x 2 ) / 1 lo que significa 1 / cos y = 1 / √ (1 – x 2 ):

Paso 5: Sustituye cos y .

Paso 6: Defina arcoseno.

Ahora podemos volver a nuestro arcosen x , que también se puede escribir como el «ángulo cuyo seno es x » o sen -1 .

Usando esta notación, y = sin -1 x . Intercambio de lados izquierdo y derecho:

Paso 7: Diferenciar y escribir el resultado.

Diferenciar ambos lados con respecto ax :

Pero acabamos de encontrar que d y / d x es igual a 1 / √ (1 – x 2 ):

Este es un buen resultado, pero necesitamos algunas ideas adicionales para completar la respuesta.

¿Qué pasa con los valores permitidos para x ? Claramente, la derivada de arcsin x debe evitar dividir entre 0: x ≠ 1 y x ≠ -1. Pero también, debido a que sen x está acotado entre ± 1, no permitiremos valores para x > 1 ni para x <-1 cuando evaluamos arcsin x .

Esto puede ser más claro si trazamos arcos en x o, como aprendimos anteriormente, sin y = x .

Tenga en cuenta que y es el ángulo en radianes.

• Para y = 0, sin y = sin 0 = 0 entonces x = 0 para y = 0
• Para y = π / 2 radianes, sin π / 2 = 1 entonces x = 1 para y = π / 2 radianes
• Para y = -π / 2 radianes, x = sin (-π / 2) = -1 para x = -1 para y = -π / 2 radianes

y va de -∞ a + ∞ pero x nunca es mayor que +1 ni menor que -1.

Graficando sin y = x

La solución definitiva

Nota: | x | <1 significa lo mismo que -1 < x <1.

Una aplicación: trazar la línea tangente

Puede usar la derivada de arcsin x para trazar la recta tangente a arcsin x en cualquier punto. Escojamos x = 1/2.

• En x = 1/2, y = arcosen (1/2) = .5236.
• La pendiente m en x = 1/2 es m = 1 / √ (1 – .5 2 ) = 1,1547.
• Resolver y = arcos en x y y = m x + b en x = 1/2 e y = .5236 da b = -.0538.

Por tanto, la recta tangente en x = 1/2 es y = 1,1547 x – 0,0538.

La pendiente siempre será positiva porque sacamos la raíz cuadrada positiva. Observe que en x = ± 1, la pendiente = + ∞. Esto concuerda con el resultado de nuestro para la derivada de arcsin x evaluada en estos dos puntos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador