¿Qué es dominio y rango en una función?

Disfruta más sorbo

Anteriormente, hablamos sobre cómo una función es como una máquina de refrescos. Al poner diferentes combinaciones de dinero (las entradas), puede obtener diferentes tipos de refrescos (las salidas). Las funciones matemáticas son básicamente las mismas. Puede ingresar diferentes números y obtendrá nuevos números. Pero hay un aspecto de las funciones del que aún no se ha hablado: dominio y rango.

Pensemos en esto en términos de la máquina de refrescos. Hay diferentes formas en las que puede pagar sus refrescos. Puede usar monedas de diez centavos, veinticinco centavos, billetes de un dólar y algunas máquinas incluso le permitirán usar su tarjeta de crédito o débito ahora. Pero, ¿qué pasa si intentas usar un centavo? Para ser honesto, no estoy seguro. Supongo que te lo escupe o simplemente te lo roba y no lo cuenta para tu refresco. De cualquier manera, los centavos no funcionan en la máquina. Eso significa que el dominio de esta máquina de refrescos es de solo {diez, veinticinco centavos, billetes de un dólar, tarjetas de crédito y tarjetas de débito}. Estas son las posibles entradas, las únicas cosas que funcionarán en la máquina.

Pero además de que hay una cantidad limitada de cosas que puede poner en la máquina, también hay una cantidad limitada de cosas que puede recuperar. No importa cómo pague, ¡no hay forma de que pueda recuperar una hamburguesa con queso de esa máquina! Digamos que los únicos refrescos posibles que puede obtener de esta máquina son regulares, dietéticos y de lima-limón. Eso hace que estas tres cosas, el rango . El rango de cualquier función es la colección de posibles resultados. Ahora que tenemos una idea de lo que son el dominio y el rango, sigamos adelante y echemos un vistazo a algunas funciones matemáticas reales.

Dominio y rango de valores solamente

Los valores de dominio y rango de la función

Comenzaremos con una función fácil y simple como esta: f ( x ) = (5, -2) (3,9) (-1, 9) (4,1). Esta función no tiene una regla; es simplemente una colección de valores de entrada y salida. Por ejemplo, nos dice que cuando ingresa 5, obtiene -2, o cuando ingresa 4 obtiene 1.

Entonces, ¿cuál es el dominio de esta función? Otra forma de hacer esa pregunta es: ¿cuáles son los posibles valores de entrada? Bueno, solo hay un par: 5, 3, 4 y -1. ¡Eso es! ¿Qué pasa con la gama? Esto es lo mismo que preguntar cuáles son los posibles resultados. En este caso, resulta ser solo -2, 9 y 1. Aunque dos entradas diferentes le dan 9, no tiene que listarlo dos veces al escribir el rango.

Grafique Squishing para encontrar dominio y rango

Podemos aumentar un poco la dificultad pidiendo determinar el dominio y el rango de un gráfico, tal vez este. Ahora, cuando pensamos en el dominio (o las entradas), debemos buscar los valores de x en este gráfico. ¿Hay algún lugar en el eje x donde este gráfico no vaya? Por lo general, respondo a esta pregunta imaginando que todo el gráfico se aplasta hacia el eje x, tal vez así. Ahora la pregunta es: ¿qué partes del eje tienen partes del gráfico aplastadas? Bueno, suponiendo que este gráfico continuaría para siempre a la izquierda y para siempre a la derecha, parece que todo el gráfico se ha aplastado. Esto significa que el dominio de la función es todo, o todos los números reales .

Para encontrar el rango, haremos algo bastante similar. Excepto que, esta vez, nos preocupan los valores de salida: el eje y. Eso significa que aplastamos el gráfico de esta manera, y nuevamente, miramos para ver dónde terminó el gráfico. Ahora, sin embargo, no se cubre todo el eje. Solo está cubierto justo en esta área, el medio, entre -1 y +1. Eso significa que el rango no son todos los números reales, y son solo los valores de y contenidos entre -1 y +1.

Gráfico con dominio de

Encontrar dominio y rango solo a partir de reglas

El ejercicio final que veremos, y probablemente el más difícil que haremos, requiere que usted determine el dominio y el rango desde solo mirar la regla de la función. Estos van a ser difíciles porque no hay un método que pueda enseñarte que te permita resolver todos los problemas. En cambio, requieren que tengas una buena comprensión conceptual del álgebra y las funciones. Pero hay algunas reglas generales que puedo establecer para ti.

Reglas generales: dominio

Primero, en términos del dominio, hay algunas reglas principales que no puede romper. Dividir por cero es una de las prohibiciones. Entonces, cada vez que vea una función que tenga una x en el denominador, habrá al menos un valor que no se puede incluir en el dominio. Por ejemplo, en la función que se muestra aquí: g ( x ) = 3 / ( x + 2), x = -2 le daría un cero en el denominador. Eso hace que el dominio de esta función sea cualquier x excepto -2.

Otro no-no es tomar raíces cuadradas de números negativos, ¡porque esos números en realidad no existen! De nuevo, si ve la raíz cuadrada de una x , sabrá que habrá algunos valores excluidos del dominio. Como puede ver aquí, esta función h ( x ) = 3 veces la raíz cuadrada de ( x – 5) tendrá un dominio de solo x s mayor que 5, porque cualquier x menor que 5 le dará un número negativo dentro del raíz cuadrada.

La restricción final sobre el dominio que revisaremos tiene que ver con los logaritmos. Si bien podría lanzarme a una explicación bastante larga y confusa de por qué este es el caso, probablemente sea mejor que confíe en mi palabra cuando digo que no podemos evaluar logaritmos de cero o cualquier número negativo. Eso significa que el dominio de esta función r ( x ) = log (-2 x ) no incluye ningún valor x positivo . Solo cuando conectamos un número negativo en esta función, terminamos tomando el logaritmo de un número positivo.

Ejemplo de una función que permanece positiva

Reglas generales: rango

Ahora, pensando en el rango, nuevamente hay algunos tipos de funciones a tener en cuenta. Quizás las más fáciles de ver son las funciones que tienen x elevado a una potencia de número par como: x 2 , x 4 o x 6 . Los gráficos de todas estas funciones se parecen a esto, lo que podría ayudarlo a ver que estas funciones permanecen positivas, porque incluso multiplicar un número negativo por sí mismo un número par de veces lo volverá positivo nuevamente. Por ejemplo, (-3) 2 = +9, pero luego (-3) 3 devuelve negativo y obtienes -27. Pero luego, si subimos a (-3) 4, nosotros, nuevamente, obtenemos +81. Por lo tanto, estas funciones de exponentes pares tendrán rangos de solo números positivos.

Pero ten cuidado. La función f ( x ) = – x 6 en realidad tendrá un rango de todos los números negativos porque el signo negativo delante de x 6 volteará todo el gráfico por debajo del eje x, haciendo en lugar de todos los valores positivos, todos los valores negativos de nuestro rango.

Son pequeños trucos como este los que hacen que sea bastante difícil enumerar todas las diferentes formas en que el rango puede cambiar solo en una lección. Pero otras funciones que debe tener en cuenta son las raíces cuadradas, los valores absolutos y las exponenciales. Todas estas funciones normalmente tendrán rangos que se componen solo de valores positivos, pero nuevamente, los trucos pueden cambiar esto ligeramente.

Resumen de la lección

El dominio de una función es la colección de todas las entradas posibles, mientras que el rango es la colección de todas las salidas posibles. Encontrar el dominio y el rango de un gráfico se puede lograr imaginando que el gráfico se aplasta hacia el eje xo y, respectivamente. Cualesquiera que sean las partes del eje sobre las que se ha presionado el gráfico, son las entradas del dominio o rango.

Encontrar el dominio y el rango solo a partir de la regla puede ser complicado, pero hay una serie de reglas generales a seguir. Esencialmente, debe tener cuidado con cualquiera de las funciones que ve aquí, pero si no ve ninguna de estas cosas, es muy probable que su respuesta sea simplemente, todos los números reales.