Pasos para resolver
Vamos a aprender a encontrar la derivada de 5 x 2 . Esto puede parecer un poco intimidante a primera vista, pero este es uno de esos derivados para los que tenemos una buena fórmula, ¡y eso hace que nuestro trabajo sea mucho más fácil! Observe que 5 x 2 tiene la forma a x n , donde a es una constante. Bueno, como acabamos de decir, tenemos una fórmula general para la derivada de a x n que podemos aplicar a 5 x 2 , y es la siguiente:
Si f ( x ) = a x n , entonces f ‘( x ) = n ⋅ a x ( n -1)
¡Eso no es tan malo! Todo lo que tenemos que hacer es identificar nuestra a y nuestra n , y luego introducir esos valores en la fórmula, ¡y tenemos nuestra derivada!
En el caso de 5 x 2 , tenemos que a = 5 y n = 2. Por lo tanto, los reemplazamos en la fórmula y simplificamos.
n ⋅ una x ( n -1) = 2⋅5 x (2-1) = 10 x 1 = 10 x
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Vemos que la derivada de 5 x 2 es 10 x . ¡Guauu! ¡Esa fórmula sin duda facilita las cosas!
Solución
La derivada de 5 x 2 es 10 x .
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Usar la definición de límite de una derivada
Acabamos de ver cómo encontrar la derivada de 5 x 2 usando la fórmula general para la derivada de la función ax n . Pero, ¿qué pasa si olvidas la fórmula? No se preocupe, ¡no se pierde toda esperanza! Verá, también podemos usar la definición de límite de la derivada de una función para encontrar esta derivada. Este proceso es un poco más complicado, pero vayamos paso a paso y veamos cómo resulta.
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En primer lugar, establezcamos la definición límite de una derivada.
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Vemos que la derivada de f ( x ) se puede encontrar hallando el límite, cuando h → 0, de ( f ( x + h ) – f ( x )) / h . De acuerdo, bastante fácil! ¡Intentemos esto con nuestra función f ( x ) = 5 x 2 !
Primero, busquemos f ( x + h ), para que podamos conectar eso al límite y simplificar.
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f ( x + h ) = 5 ( x + h ) 2 = 5 ( x + h ) ( x + h ) = 5 ( x 2 + 2 xh + h 2 ) = 5 x 2 + 10 xh + 5 h 2
Muy bien, ahora conectamos f ( x + h ) = 5 x 2 + 10 xh + 5 h 2 y f ( x ) = 5 x 2 en la definición límite de la derivada y simplificamos.
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¡Excelente! Todo lo que tenemos que hacer es encontrar el límite, cuando h → 0, de 10 x + 5 h . Para hacer esto, usaremos el método de complemento para encontrar límites. El método de complemento para encontrar límites establece que si una función f ( x ) se define en a , entonces el límite, como x → a , de f ( x ), se puede encontrar reemplazando x = a en la función f . En otras palabras, cuando f se define en a , el límite, cuando x → a , de f( x ) es f ( a ). El método de complemento da que para encontrar el límite, cuando h → 0, de 10 x + 5 h , simplemente reemplazamos 0 para h .
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Obtenemos que si f ( x ) = 5 x 2 , entonces el límite, cuando h → 0, de ( f ( x + h ) – f ( x )) / h es 10 x . Por tanto, vemos que una vez más, la derivada de 5 x 2 es 10 x . ¡Increíble! No solo vimos cómo usar la definición límite de derivadas para encontrar esta derivada, también pudimos verificar nuestro trabajo y ver que hicimos todo correctamente.
Obviamente, usar la definición de límite implica algunos pasos más que cuando solo usamos la fórmula. Sin embargo, es muy útil saber cómo hacerlo en ambos sentidos. De esa manera, si olvidas una forma, ¡siempre tendrás una copia de seguridad!
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