Uso de la prueba integral para la convergencia de series

La prueba integral

Otra prueba de convergencia o divergencia de una serie se llama Prueba Integral . Para un entero N y una función continua f (x) que se define como monótona y decreciente en el intervalo [N, ∞), entonces la serie infinita

converge a un número real si y solo si la integral impropia es finita.

En otras palabras, si la integral impropia tiene un valor finito, entonces la serie converge. De manera similar, si la integral impropia diverge, la serie diverge.

Para poder utilizar esta prueba, debe tener una serie que sea monótona y decreciente. Esto significa que cada término es menor o igual que el término anterior. Para estas series, resulta que si los primeros términos no son positivos o decrecientes, no importa. La prueba funcionará si en algún momento los términos de la serie se vuelven positivos y decrecientes.

Cuando usa la prueba integral, hay algunas cosas para recordar. Primero, el valor inicial donde comienza la serie y el límite inferior para la integral deben ser el mismo valor. En segundo lugar, la prueba integral NO le da la suma de la serie. La prueba solo le informa sobre la convergencia / divergencia de la serie y nada más.

Uso de la prueba integral de convergencia

Comencemos analizando la cuestión de si la serie armónica converge.

Ahora, observe la integral impropia.

Dado que la integral diverge, significa que la serie armónica diverge. Ya lo sabes porque es una serie p , p = 1. Este es solo otro método que prueba que la serie armónica diverge.

A continuación, se muestra un ejemplo del uso de la prueba integral . Determinamos si la serie que se muestra a continuación converge o diverge.

El primer paso es configurar la integral incorrecta. Se parece a esto.

Luego evalúas la integral.

Dado que la integral diverge, significa que la serie diverge.

Aquí hay un ejemplo más del uso de la prueba integral. Desea determinar si la serie converge o diverge.

Recuerde, el primer paso es establecer la integral impropia y luego evaluar esa integral.

Dado que esta integral converge a un valor específico, eso significa que la serie converge. Recuerda que el valor de la integral NO es igual a la suma de la serie.

La integral de prueba y p -Serie

Anteriormente vimos cómo la prueba integral demuestra que la serie armónica diverge. Ahora, observemos la serie p en general y veamos cómo la prueba integral demuestra sus reglas de convergencia. Primero, veamos la serie p cuando p > 1.

Primero, configuramos la integral impropia.

A continuación, evalúas la integral. Recuerde que p > 1.

Dado que la integral tiene un valor finito, eso significa que la serie converge. Por lo tanto, nos acaba de demostrar que todos p -series con p > 1 convergen por el criterio de la integral.

Para p -series donde 0 < p <1, la prueba integral se ve así.

Dado que la integral diverge, entonces todas las series p divergen donde 0 < p <1.

Entonces, ¡acabamos de mostrar cómo la prueba integral prueba las reglas de convergencia para la serie p !

Resumen de la lección

La prueba integral es otra forma de probar para probar si una serie converge o diverge. Siempre que la función que modela la serie sea monótona decreciente, configurará una integral incorrecta para la función que modela la serie. Si la integral impropia diverge, entonces la serie diverge. Si la integral impropia converge a un valor finito, entonces la serie converge. Es importante recordar que el valor de la integral no te dice nada sobre la suma de la serie. Finalmente, la prueba integral también prueba las reglas de convergencia para la serie p .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador