Integral impropia: definición y ejemplos

¿Qué son las integrales inadecuadas?

Infinito en matemáticas es cuando algo sigue creciendo sin límites. Esto puede suceder en los límites inferior o superior de una integral, o en ambos. Una integral es el área debajo de una curva, y la integración de una función nos da el área debajo de la curva de la función sumando pequeñas porciones de área. Una integral se representa como S o el símbolo:

Símbolo que representa una integral

El infinito también puede ocurrir si la función que se está integrando, el integrando , se vuelve muy grande para los valores entre los límites inferior y superior de integración. Las integrales que involucran infinito se llaman integrales impropias . Estos tipos de integrales no se pueden resolver de la forma habitual.

Integrando en Infinity

Digamos que queremos conocer el área bajo una curva desde algún valor fijo de x hasta el infinito. Podemos integrar a alguna variable b y luego dejar que b vaya al infinito. Nuestro primer ejemplo usa 1 / x al cuadrado como función para la curva.

Para calcular el área bajo esta curva desde x = 1 ax = b escribimos:

Esta área A se muestra sombreada a continuación.

Área bajo la curva 1 / x ^ 2 de 1 a b

Moviéndonos b más y más a la derecha, recolectamos más y más área. Eventualmente, tendremos toda el área del 1 al infinito. Antes de considerar cómo tratar con x en el infinito, escribamos A en función de b .

Para hacer esto, use:

Entonces, la anti-derivada de x ^ (- 2) es:

Nuestra integral se convierte en:

Ahora, tenemos el área en términos de qué tan a la derecha nos integramos. Si b es igual a 2, el área A es 1 – 1 / b = 1 – ½ = ½. Para integrar hasta el infinito, necesitamos números mucho mayores para b . ¿Y si b = 100? Entonces A = 1 – 1/100 = .990.

Para b = 1000, A = 1 – 1/1000 = .999. Decimos que el área se acerca al valor de 1 cuando b llega al infinito. Como la respuesta es un número, decimos que la integral converge a ese número. En este ejemplo, la integral converge a 1.

Aquí hay una expresión más formal que usa el concepto de límite :

Eso es exactamente lo que hicimos. Reemplazamos el infinito con una variable b . Luego, después de obtener una expresión para la integral con esta variable b , dejamos que b vaya al infinito.

Podría pensar que las integrales impropias siempre convergen si la función va a cero en el infinito. ¡Pero en realidad no lo hacen!

Área bajo la curva de 1 / x ^ (1/2) de 1 a b.

La función aquí es una sobre la raíz cuadrada de x . Primero, escribe:

Entonces, la anti-derivada de x ^ (- 1/2) es:

El área A de x = 1 ax = b está dada por:

A medida que b aumenta, el área A sigue aumentando. De hecho, para que b sea igual a infinito, A debe ser infinito. Por lo tanto, el área se acerca al infinito cuando x va al infinito. El área bajo esta curva no es un número. El área es infinita. La integral no converge. Cuando el límite de una integral es infinito o no existe, entonces decimos que la integral diverge .

Ahora grafiquemos nuestras funciones en la misma gráfica:

Gráficos de x ^ (- 1/2) (rosa) y x ^ (- 2) (azul)

Como puede ver, ambas funciones van a cero en el infinito, pero solo una de las integrales converge. ¿Porqué es eso? La función x ^ (- 1/2) no llega a cero lo suficientemente rápido.

Lidiando con Integrands yendo al Infinito

A veces, el integrando irá al infinito dentro del intervalo de integración. Recuerde, el integrando es la función que estamos integrando. Aquí hay un ejemplo que integra de x = 0 a x = 1. Hay un problema en x = 0 donde el integrando va al infinito.

Área bajo la curva de a a 1.

En este caso, el límite se llama límite del lado derecho . Nos acercamos al valor de 0 desde el lado derecho de 0. Para indicar esto escribimos 0 + . Esto significa que el valor de a siempre será positivo. Queremos evitar sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Para encontrar el área A escribimos:

En a = 0, la raíz cuadrada de 0 es cero. Esto nos da un área de A = 2.

Aplicar enteros a un ejemplo de la vida real

En el norte, es común quemar leña en una chimenea para calentarla. Agregamos madera a la pila de madera todos los días, y la cantidad de troncos que quedan depende del frío que haga afuera. A medida que el clima se vuelve más frío, quemamos más madera. La reserva se hace más pequeña, acercándose a cero a medida que avanza la temporada. ¡Y el invierno es largo! Afortunadamente, existen límites para la temporada de invierno.

Así como los límites juegan un papel importante en la evaluación de integrales incorrectas, también son importantes para resolver los problemas cotidianos, como asegurarse de tener suficiente madera para el invierno. Por lo general, un garaje lleno de madera es suficiente para mantenernos calientes hasta la primavera. Pero solo para estar seguros, usemos una integral incorrecta para estimar cuántos registros necesitaremos.

Tenga en cuenta que un exponencial decreciente es una función que llega a cero cuando el tiempo llega al infinito. Esto funcionará bien para modelar el número decreciente de registros.

Exponencial en descomposición para modelar la pila de madera

En la función anterior, vemos los números 100, 20 y 5. Hay 100 días en una temporada de calefacción típica. Almacenamos 20 troncos cada día, porque en los días más fríos, quemamos los 20 troncos. El 5 permite que esta función esté casi en cero cuando x = 100. Esta función exponencial decreciente nos dice el número de registros restantes en una reserva por día.

Por ejemplo, de los 20 registros que traemos el día 0, el primer día de la temporada, ninguno se quema y nos quedan 20 e ^ (- 5 (0) / 100) = 20 registros. Al día siguiente, x es 1, y de los 20 registros que traemos ese día, quedan 20 e ^ (- 5 (1) / 100) = 19 registros. Después de dos días, tenemos 20 + 19 registros sin usar. Podríamos seguir evaluando y agregando así, pero es mejor integrar esta función con el tiempo. Esto nos dará el número total de registros restantes:

Tenga en cuenta que -5 x / 100 es -0,05 x , y que la anti-derivada es:

Veamos los detalles de la solución:

Si hubiéramos comenzado la temporada con 2000 troncos, podríamos haber quemado 20 troncos por cada uno de los 100 días de la temporada. ¡Son demasiados registros! Nuestro cálculo muestra que nos quedan 400 troncos al final de la temporada. Por lo tanto, para estar caliente, necesitamos 2000 – 400 = 1600 troncos en el garaje al comienzo de la temporada.

Resumen de la lección

Las integrales que tratan con infinito se denominan integrales impropias. La aparición del infinito puede estar en los límites de la integración. También podemos tener un integrando que va al infinito dentro del intervalo de integración. Usando límites, podemos determinar si el área es finita o no. Un área finita significa que la integral converge. Si la integral es infinita o no existe, la integral diverge.

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