Series alternas: definición y ejemplos

Un objeto en movimiento oscilatorio

Imagina un objeto moviéndose hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una línea unidimensional. El objeto se mueve un metro hacia la derecha y un metro hacia la izquierda en un ciclo repetido indefinidamente. Podemos calcular el desplazamiento del objeto en relación con el punto de partida (cuando el objeto se puso en movimiento por primera vez). Entonces, después de un movimiento hacia la derecha, el desplazamiento del objeto es

Luego, después de un movimiento a la derecha y otro a la izquierda, el desplazamiento del objeto es

En general, podemos deducir que

Es decir, después de un número impar de movimientos, el objeto está a un metro (desde el punto de partida) y, después de un número par de movimientos, vuelve a su punto de partida. Este es un ejemplo de un objeto que nunca se asienta en ningún lugar en particular a lo largo de la línea unidimensional. En cambio, sigue rebotando hacia adelante y hacia atrás desde x = 0 y x = 1 a lo largo del eje unidimensional.

Para forzar al objeto a reducir la velocidad y ubicarse en una ubicación particular, debemos cambiar la magnitud del movimiento hacia la derecha y el movimiento hacia la izquierda. Obviamente, no queremos hacer las magnitudes más grandes de lo que eran inicialmente. En su lugar, supongamos que el primer movimiento es de un metro, el segundo movimiento es de 1/2 metros, el tercero es de 1/3 metros, el cuarto es de 1/4 metros y así sucesivamente. Podemos escribir el desplazamiento del objeto como una suma. Después de que N se mueve, la posición del objeto es

La cuestión de finalmente establecerse en una ubicación está relacionada con la convergencia de esta secuencia. Si esta secuencia de sumas parciales converge, entonces el objeto se ralentizará y se asentará en algún punto fijo. Responderemos a la pregunta de si esta serie converge con la ayuda del teorema de series alternas .

Movimiento de la pelota a lo largo de una línea: la pelota se mueve primero a la derecha en uno, luego a la izquierda en la mitad. El tercer movimiento es un tercio hacia la derecha.

Series alternas: definición formal

Antes de continuar analizando el movimiento periódico del objeto, debemos definir algunos términos clave.

Una serie alterna es una serie de la forma

dónde

En el ejemplo anterior donde cada uno de los movimientos (derecha e izquierda) tiene magnitud uno, la posición final del objeto es

Esta es una serie alterna divergente porque las sumas parciales impares son iguales a uno, mientras que las sumas parciales pares son iguales a cero. Prácticamente hablando, el objeto nunca se enfoca en ningún punto fijo a lo largo del eje.

En la última situación, la posición final del objeto está dada por

Calculando sistemáticamente las sumas parciales de la serie (2), podemos adivinar si la serie converge. Calculando la suma parcial cuando n = 20, 200, 2000 y 5000, obtenemos los siguientes resultados:

Con base en estos resultados numéricos, parece que la serie (2) converge. Los números parecen rondar en ln (2) a medida que N aumenta. Como veremos en la siguiente sección, la serie de hecho converge.

La posición después de cada uno de los primeros cinco movimientos y el punto de destino final de ln (2)

La prueba de series alternas y sus aplicaciones

Ahora declaramos la prueba de series alternas . Esto da las condiciones suficientes para que converja una serie alterna. Con la ayuda de este teorema, podemos probar que la serie (2) converge.

Teorema: Prueba de series alternas

Para la serie dada en (1), suponga las siguientes condiciones.

Entonces (1) converge.

Movimiento oscilatorio: revisado

Recuerde la serie en (2). Podemos verificar fácilmente las dos condiciones para la prueba de series alternas. Primero tenga en cuenta que para esta serie en particular,

La primera condición de la AST (prueba de series alternas) se satisface ya que para n = 1, 2, 3, 4, ….

Además, la segunda condición del AST se cumple ya que

Entonces, según el AST, la serie (2) converge y, después de todo, la posición del objeto se establece en un punto fijo.

Como se desprende del AST, no tuvimos que establecer

para obligar al objeto a reducir la velocidad y asentarse en un punto fijo. Hay muchas otras opciones como

o

Siempre que se satisfagan las condiciones 1 y 2 en el AST, la serie alterna converge y ese objeto se ralentizará y se asentará en un punto fijo.

Alternando gastos y ganancias

Supongamos que abrimos una cuenta bancaria y depositamos un dólar el primer día. De manera más general, el día n , el saldo de la cuenta aumenta / disminuye en

El primer día aumenta, el segundo día disminuye, el tercero aumenta y así sucesivamente en ese patrón alterno. Entonces, por lo tanto, el equilibrio a largo plazo está dado por la serie alterna

Si la serie converge, significaría que nuestro saldo se establece en un número fijo. ¿Es esto ideal para un inversor? No del todo, pero podría ser peor si la serie diverge. Primero demostremos que esta serie converge por el AST.

Tenga en cuenta que

es equivalente a

o después de la simplificación,

La última desigualdad es claramente verdadera cuando n = 1, 2, 3 ,, ….., por lo que (3) es válido para todo n . Por tanto, se satisface la condición (1) del AST. Queda por comprobar la condición (2) del AST para esta serie. Observe que para todo n ,

Para mostrar que el lado derecho de (4) tiende a cero, podemos usar la siguiente desigualdad.

Entonces para todos los n ,

Ahora usando la identidad

podemos concluir que

Combinando esta última observación con (4) y (5), se deduce que

Ahora por el AST, la serie

converge. Esto significa que el saldo de la cuenta bancaria tenderá a tener algún límite. Sin embargo, ¿qué significa esto para nosotros? Es bueno saber que la balanza alcanzará un valor de estado estable, pero también nos gustaría tener una cifra aproximada de la balanza. Podemos aproximar el equilibrio del estado estacionario mediante el uso del teorema de estimación de series alternas . Enunciamos este teorema aquí por esa razón.

Teorema de estimación de series alternas

Suponga que la serie en (1) converge. Entonces para todo N = 1, 2, 3, 4, ……

Usando este teorema, podemos estimar el equilibrio del estado estacionario dentro de 0.01 dólares. Si encontramos el N más pequeño tal que

luego, según el Teorema de estimación de series alternas, la suma parcial para ese N estará dentro de los 0.01 dólares de la suma real (el equilibrio del estado estacionario). Podemos hacer esto simplemente insertando valores de N hasta que obtengamos menos de 0.01. Resulta que el más pequeño es N = 6, ya que

Entonces, el saldo con una precisión de 0.01 dólares es

Por lo tanto, a largo plazo, podemos esperar que nuestro saldo sea de alrededor de $ 0,65. Recuerde que inicialmente depositamos un dólar en la cuenta, por lo que terminaremos perdiendo $ 0.35 a largo plazo. También es importante tener en cuenta que los $ 0,65 se establecerán y bloquearán esencialmente para el sexto día en que la cuenta esté abierta. No se gasta ni se gana mucho después de eso.

Resumen de la lección

Una serie alterna es una serie infinita donde los términos impares son un signo y los términos pares son el otro. Puede modelar el comportamiento oscilatorio de un proyectil que se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo de un eje unidimensional. Además, también podemos modelar los gastos / ganancias de un titular de cuenta bancaria.

Un teorema que proporciona condiciones suficientes para que converja una serie alterna es la prueba de series alternas . Si los términos de la serie convergen monótonamente hasta cero, entonces la serie converge. Esa es básicamente la declaración de la AST. También podemos estimar con cualquier precisión deseada el valor de la serie alterna aplicando el Teorema de estimación de series alternas .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador